График функции y = cot(3*x)

Вы ввели

f(x) = cot(3*x)

$$f{\left(x \right)} = \cot{\left(3 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 36.1283155162826$$
$$x_{2} = -71.733032256967$$
$$x_{3} = -16.2315620435473$$
$$x_{4} = 71.733032256967$$
$$x_{5} = -38.2227106186758$$
$$x_{6} = -31.9395253114962$$
$$x_{7} = -14.1371669411541$$
$$x_{8} = 27.7507351067098$$
$$x_{9} = -18.3259571459405$$
$$x_{10} = 90.5825881785057$$
$$x_{11} = 84.2994028713261$$
$$x_{12} = 92.6769832808989$$
$$x_{13} = -91.6297857297023$$
$$x_{14} = -25.6563400043166$$
$$x_{15} = 42.4115008234622$$
$$x_{16} = -95.8185759344887$$
$$x_{17} = 68.5914396033772$$
$$x_{18} = -1.5707963267949$$
$$x_{19} = 58.1194640914112$$
$$x_{20} = -49.7418836818384$$
$$x_{21} = -84.2994028713261$$
$$x_{22} = -34.0339204138894$$
$$x_{23} = 14.1371669411541$$
$$x_{24} = -5.75958653158129$$
$$x_{25} = -75.9218224617533$$
$$x_{26} = -47.6474885794452$$
$$x_{27} = -12.0427718387609$$
$$x_{28} = -58.1194640914112$$
$$x_{29} = 34.0339204138894$$
$$x_{30} = 62.3082542961976$$
$$x_{31} = 31.9395253114962$$
$$x_{32} = -3.66519142918809$$
$$x_{33} = -43.4586983746588$$
$$x_{34} = 86.3937979737193$$
$$x_{35} = -87.4409955249159$$
$$x_{36} = 38.2227106186758$$
$$x_{37} = -7.85398163397448$$
$$x_{38} = -63.3554518473942$$
$$x_{39} = 12.0427718387609$$
$$x_{40} = 22.5147473507269$$
$$x_{41} = 16.2315620435473$$
$$x_{42} = 82.2050077689329$$
$$x_{43} = -65.4498469497874$$
$$x_{44} = 69.6386371545737$$
$$x_{45} = 60.2138591938044$$
$$x_{46} = 95.8185759344887$$
$$x_{47} = 93.7241808320955$$
$$x_{48} = -80.1106126665397$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = -27.7507351067098$$
$$x_{51} = -97.9129710368819$$
$$x_{52} = 2.61799387799149$$
$$x_{53} = -89.5353906273091$$
$$x_{54} = 53.9306738866248$$
$$x_{55} = 51.8362787842316$$
$$x_{56} = -85.3466004225227$$
$$x_{57} = -40.317105721069$$
$$x_{58} = -60.2138591938044$$
$$x_{59} = 73.8274273593601$$
$$x_{60} = 29.845130209103$$
$$x_{61} = 100.007366139275$$
$$x_{62} = 3.66519142918809$$
$$x_{63} = 66.497044500984$$
$$x_{64} = 24.60914245312$$
$$x_{65} = -62.3082542961976$$
$$x_{66} = -21.4675497995303$$
$$x_{67} = -53.9306738866248$$
$$x_{68} = -29.845130209103$$
$$x_{69} = -78.0162175641465$$
$$x_{70} = -56.025068989018$$
$$x_{71} = -23.5619449019235$$
$$x_{72} = -82.2050077689329$$
$$x_{73} = 56.025068989018$$
$$x_{74} = 5.75958653158129$$
$$x_{75} = 47.6474885794452$$
$$x_{76} = 78.0162175641465$$
$$x_{77} = 75.9218224617533$$
$$x_{78} = -67.5442420521806$$
$$x_{79} = -93.7241808320955$$
$$x_{80} = 46.6002910282486$$
$$x_{81} = -41.3643032722656$$
$$x_{82} = 40.317105721069$$
$$x_{83} = 97.9129710368819$$
$$x_{84} = -69.6386371545737$$
$$x_{85} = 44.5058959258554$$
$$x_{86} = 64.4026493985908$$
$$x_{87} = -100.007366139275$$
$$x_{88} = 18.3259571459405$$
$$x_{89} = -73.8274273593601$$
$$x_{90} = 88.4881930761125$$
$$x_{91} = 49.7418836818384$$
$$x_{92} = -51.8362787842316$$
$$x_{93} = -19.3731546971371$$
$$x_{94} = 80.1106126665397$$
$$x_{95} = -9.94837673636768$$
$$x_{96} = 9.94837673636768$$
$$x_{97} = 7.85398163397448$$
$$x_{98} = 25.6563400043166$$
$$x_{99} = 20.4203522483337$$
$$x_{100} = -36.1283155162826$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(3*x).
$$\tilde{\infty}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$18 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \cot{\left(3 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(3 x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cot{\left(3 x \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(3 x \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot{\left(3 x \right)} = - \cot{\left(3 x \right)}$$
- Нет
$$\cot{\left(3 x \right)} = \cot{\left(3 x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График