График функции y = (cot(3*x))^4

Вы ввели

          4     
f(x) = cot (3*x)

$$f{\left (x \right )} = \cot^{4}{\left (3 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot^{4}{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Численное решение
$$x_{1} = 84.2992590613$$
$$x_{2} = -27.7507329893$$
$$x_{3} = -3.66544359077$$
$$x_{4} = -78.016160477$$
$$x_{5} = -71.7330811934$$
$$x_{6} = 53.9309223677$$
$$x_{7} = 40.3169085983$$
$$x_{8} = -9.9485647599$$
$$x_{9} = -49.7419070674$$
$$x_{10} = 12.0426186258$$
$$x_{11} = 75.9221042267$$
$$x_{12} = 56.0249804725$$
$$x_{13} = 60.2139641237$$
$$x_{14} = 37.1756038309$$
$$x_{15} = -56.0249806192$$
$$x_{16} = 97.91328671$$
$$x_{17} = -34.0338006029$$
$$x_{18} = 16.2316152445$$
$$x_{19} = 18.3257327539$$
$$x_{20} = -53.9309484943$$
$$x_{21} = -73.8271840957$$
$$x_{22} = 31.9397410398$$
$$x_{23} = 9.94856015526$$
$$x_{24} = -75.9221653337$$
$$x_{25} = 38.222789545$$
$$x_{26} = -47.6477980792$$
$$x_{27} = 34.0338000312$$
$$x_{28} = -100.007340232$$
$$x_{29} = 78.016160454$$
$$x_{30} = -51.8359932992$$
$$x_{31} = 62.308084012$$
$$x_{32} = -12.0426203673$$
$$x_{33} = -5.75955890589$$
$$x_{34} = -93.7242554182$$
$$x_{35} = -29.8447897475$$
$$x_{36} = 82.2051391974$$
$$x_{37} = -69.6389763825$$
$$x_{38} = -31.9397522377$$
$$x_{39} = 100.007340231$$
$$x_{40} = -95.8183674841$$
$$x_{41} = -25.6566205093$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(3*x)^4.
$$\cot^{4}{\left (0 \cdot 3 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- 12 \cot^{2}{\left (3 x \right )} - 12\right) \cot^{3}{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 0)
 6     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[pi/6, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/6]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$36 \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \left(5 \cot^{2}{\left (3 x \right )} + 3\right) \cot^{2}{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \cot^{4}{\left (3 x \right )}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \cot^{4}{\left (3 x \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(3*x)^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot^{4}{\left (3 x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot^{4}{\left (3 x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot^{4}{\left (3 x \right )} = \cot^{4}{\left (3 x \right )}$$
- Да
$$\cot^{4}{\left (3 x \right )} = - \cot^{4}{\left (3 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной