График функции y = (cot(3*x))^4

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          4     
f(x) = cot (3*x)
f(x)=cot4(3x)f{\left (x \right )} = \cot^{4}{\left (3 x \right )}
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020000500000000
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cot4(3x)=0\cot^{4}{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Численное решение
x1=84.2992590613x_{1} = 84.2992590613
x2=27.7507329893x_{2} = -27.7507329893
x3=3.66544359077x_{3} = -3.66544359077
x4=78.016160477x_{4} = -78.016160477
x5=71.7330811934x_{5} = -71.7330811934
x6=53.9309223677x_{6} = 53.9309223677
x7=40.3169085983x_{7} = 40.3169085983
x8=9.9485647599x_{8} = -9.9485647599
x9=49.7419070674x_{9} = -49.7419070674
x10=12.0426186258x_{10} = 12.0426186258
x11=75.9221042267x_{11} = 75.9221042267
x12=56.0249804725x_{12} = 56.0249804725
x13=60.2139641237x_{13} = 60.2139641237
x14=37.1756038309x_{14} = 37.1756038309
x15=56.0249806192x_{15} = -56.0249806192
x16=97.91328671x_{16} = 97.91328671
x17=34.0338006029x_{17} = -34.0338006029
x18=16.2316152445x_{18} = 16.2316152445
x19=18.3257327539x_{19} = 18.3257327539
x20=53.9309484943x_{20} = -53.9309484943
x21=73.8271840957x_{21} = -73.8271840957
x22=31.9397410398x_{22} = 31.9397410398
x23=9.94856015526x_{23} = 9.94856015526
x24=75.9221653337x_{24} = -75.9221653337
x25=38.222789545x_{25} = 38.222789545
x26=47.6477980792x_{26} = -47.6477980792
x27=34.0338000312x_{27} = 34.0338000312
x28=100.007340232x_{28} = -100.007340232
x29=78.016160454x_{29} = 78.016160454
x30=51.8359932992x_{30} = -51.8359932992
x31=62.308084012x_{31} = 62.308084012
x32=12.0426203673x_{32} = -12.0426203673
x33=5.75955890589x_{33} = -5.75955890589
x34=93.7242554182x_{34} = -93.7242554182
x35=29.8447897475x_{35} = -29.8447897475
x36=82.2051391974x_{36} = 82.2051391974
x37=69.6389763825x_{37} = -69.6389763825
x38=31.9397522377x_{38} = -31.9397522377
x39=100.007340231x_{39} = 100.007340231
x40=95.8183674841x_{40} = -95.8183674841
x41=25.6566205093x_{41} = -25.6566205093
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(3*x)^4.
cot4(03)\cot^{4}{\left (0 \cdot 3 \right )}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(12cot2(3x)12)cot3(3x)=0\left(- 12 \cot^{2}{\left (3 x \right )} - 12\right) \cot^{3}{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Зн. экстремумы в точках:
 pi    
(--, 0)
 6     


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[pi/6, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, pi/6]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
36(cot2(3x)+1)(5cot2(3x)+3)cot2(3x)=036 \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \left(5 \cot^{2}{\left (3 x \right )} + 3\right) \cot^{2}{\left (3 x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=limxcot4(3x)y = \lim_{x \to -\infty} \cot^{4}{\left (3 x \right )}
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=limxcot4(3x)y = \lim_{x \to \infty} \cot^{4}{\left (3 x \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(3*x)^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1xcot4(3x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot^{4}{\left (3 x \right )}\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(1xcot4(3x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot^{4}{\left (3 x \right )}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cot4(3x)=cot4(3x)\cot^{4}{\left (3 x \right )} = \cot^{4}{\left (3 x \right )}
- Да
cot4(3x)=cot4(3x)\cot^{4}{\left (3 x \right )} = - \cot^{4}{\left (3 x \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной