График функции
0 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 60 -500 500
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0cot ( x ) 2 = 0 \frac{\cot{\left(x \right)}}{2} = 0 2 cot ( x ) = 0 Решаем это уравнение Аналитическое решение x 1 = π 2 x_{1} = \frac{\pi}{2} x 1 = 2 π Численное решение x 1 = 64.4026493985908 x_{1} = 64.4026493985908 x 1 = 64.4026493985908 x 2 = − 42.4115008234622 x_{2} = -42.4115008234622 x 2 = − 42.4115008234622 x 3 = 54.9778714378214 x_{3} = 54.9778714378214 x 3 = 54.9778714378214 x 4 = 70.6858347057703 x_{4} = 70.6858347057703 x 4 = 70.6858347057703 x 5 = 39.2699081698724 x_{5} = 39.2699081698724 x 5 = 39.2699081698724 x 6 = − 23.5619449019235 x_{6} = -23.5619449019235 x 6 = − 23.5619449019235 x 7 = 76.9690200129499 x_{7} = 76.9690200129499 x 7 = 76.9690200129499 x 8 = 73.8274273593601 x_{8} = 73.8274273593601 x 8 = 73.8274273593601 x 9 = 95.8185759344887 x_{9} = 95.8185759344887 x 9 = 95.8185759344887 x 10 = − 83.2522053201295 x_{10} = -83.2522053201295 x 10 = − 83.2522053201295 x 11 = 67.5442420521806 x_{11} = 67.5442420521806 x 11 = 67.5442420521806 x 12 = 1.5707963267949 x_{12} = 1.5707963267949 x 12 = 1.5707963267949 x 13 = − 45.553093477052 x_{13} = -45.553093477052 x 13 = − 45.553093477052 x 14 = 98.9601685880785 x_{14} = 98.9601685880785 x 14 = 98.9601685880785 x 15 = 32.9867228626928 x_{15} = 32.9867228626928 x 15 = 32.9867228626928 x 16 = − 54.9778714378214 x_{16} = -54.9778714378214 x 16 = − 54.9778714378214 x 17 = 89.5353906273091 x_{17} = 89.5353906273091 x 17 = 89.5353906273091 x 18 = − 20.4203522483337 x_{18} = -20.4203522483337 x 18 = − 20.4203522483337 x 19 = 61.261056745001 x_{19} = 61.261056745001 x 19 = 61.261056745001 x 20 = − 7.85398163397448 x_{20} = -7.85398163397448 x 20 = − 7.85398163397448 x 21 = 86.3937979737193 x_{21} = 86.3937979737193 x 21 = 86.3937979737193 x 22 = − 10.9955742875643 x_{22} = -10.9955742875643 x 22 = − 10.9955742875643 x 23 = 14.1371669411541 x_{23} = 14.1371669411541 x 23 = 14.1371669411541 x 24 = − 80.1106126665397 x_{24} = -80.1106126665397 x 24 = − 80.1106126665397 x 25 = − 64.4026493985908 x_{25} = -64.4026493985908 x 25 = − 64.4026493985908 x 26 = − 73.8274273593601 x_{26} = -73.8274273593601 x 26 = − 73.8274273593601 x 27 = − 26.7035375555132 x_{27} = -26.7035375555132 x 27 = − 26.7035375555132 x 28 = − 14.1371669411541 x_{28} = -14.1371669411541 x 28 = − 14.1371669411541 x 29 = 7.85398163397448 x_{29} = 7.85398163397448 x 29 = 7.85398163397448 x 30 = − 92.6769832808989 x_{30} = -92.6769832808989 x 30 = − 92.6769832808989 x 31 = 29.845130209103 x_{31} = 29.845130209103 x 31 = 29.845130209103 x 32 = − 67.5442420521806 x_{32} = -67.5442420521806 x 32 = − 67.5442420521806 x 33 = 58.1194640914112 x_{33} = 58.1194640914112 x 33 = 58.1194640914112 x 34 = − 48.6946861306418 x_{34} = -48.6946861306418 x 34 = − 48.6946861306418 x 35 = − 76.9690200129499 x_{35} = -76.9690200129499 x 35 = − 76.9690200129499 x 36 = − 61.261056745001 x_{36} = -61.261056745001 x 36 = − 61.261056745001 x 37 = − 29.845130209103 x_{37} = -29.845130209103 x 37 = − 29.845130209103 x 38 = 17.2787595947439 x_{38} = 17.2787595947439 x 38 = 17.2787595947439 x 39 = 48.6946861306418 x_{39} = 48.6946861306418 x 39 = 48.6946861306418 x 40 = 45.553093477052 x_{40} = 45.553093477052 x 40 = 45.553093477052 x 41 = 42.4115008234622 x_{41} = 42.4115008234622 x 41 = 42.4115008234622 x 42 = 80.1106126665397 x_{42} = 80.1106126665397 x 42 = 80.1106126665397 x 43 = 83.2522053201295 x_{43} = 83.2522053201295 x 43 = 83.2522053201295 x 44 = 10.9955742875643 x_{44} = 10.9955742875643 x 44 = 10.9955742875643 x 45 = − 89.5353906273091 x_{45} = -89.5353906273091 x 45 = − 89.5353906273091 x 46 = − 58.1194640914112 x_{46} = -58.1194640914112 x 46 = − 58.1194640914112 x 47 = − 39.2699081698724 x_{47} = -39.2699081698724 x 47 = − 39.2699081698724 x 48 = − 86.3937979737193 x_{48} = -86.3937979737193 x 48 = − 86.3937979737193 x 49 = 23.5619449019235 x_{49} = 23.5619449019235 x 49 = 23.5619449019235 x 50 = − 17.2787595947439 x_{50} = -17.2787595947439 x 50 = − 17.2787595947439 x 51 = 36.1283155162826 x_{51} = 36.1283155162826 x 51 = 36.1283155162826 x 52 = 92.6769832808989 x_{52} = 92.6769832808989 x 52 = 92.6769832808989 x 53 = − 95.8185759344887 x_{53} = -95.8185759344887 x 53 = − 95.8185759344887 x 54 = − 70.6858347057703 x_{54} = -70.6858347057703 x 54 = − 70.6858347057703 x 55 = 4.71238898038469 x_{55} = 4.71238898038469 x 55 = 4.71238898038469 x 56 = 51.8362787842316 x_{56} = 51.8362787842316 x 56 = 51.8362787842316 x 57 = − 98.9601685880785 x_{57} = -98.9601685880785 x 57 = − 98.9601685880785 x 58 = − 32.9867228626928 x_{58} = -32.9867228626928 x 58 = − 32.9867228626928 x 59 = 20.4203522483337 x_{59} = 20.4203522483337 x 59 = 20.4203522483337 x 60 = − 4.71238898038469 x_{60} = -4.71238898038469 x 60 = − 4.71238898038469 x 61 = − 36.1283155162826 x_{61} = -36.1283155162826 x 61 = − 36.1283155162826 x 62 = 26.7035375555132 x_{62} = 26.7035375555132 x 62 = 26.7035375555132 x 63 = − 51.8362787842316 x_{63} = -51.8362787842316 x 63 = − 51.8362787842316 x 64 = − 1.5707963267949 x_{64} = -1.5707963267949 x 64 = − 1.5707963267949
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:∞ ~ 2 \frac{\tilde{\infty}}{2} 2 ∞ ~ f ( 0 ) = ∞ ~ f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty} f ( 0 ) = ∞ ~
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d x f ( x ) = 0 \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0 d x d f ( x ) = 0 d d x f ( x ) = \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = d x d f ( x ) = первая производная − cot 2 ( x ) 2 − 1 2 = 0 - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2} = 0 − 2 cot 2 ( x ) − 2 1 = 0 Решаем это уравнение
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d x 2 f ( x ) = 0 \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0 d x 2 d 2 f ( x ) = 0 d 2 d x 2 f ( x ) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = d x 2 d 2 f ( x ) = вторая производная ( cot 2 ( x ) + 1 ) cot ( x ) = 0 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} = 0 ( cot 2 ( x ) + 1 ) cot ( x ) = 0 Решаем это уравнение x 1 = π 2 x_{1} = \frac{\pi}{2} x 1 = 2 π Интервалы выпуклости и вогнутости: ( − ∞ , π 2 ] \left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] ( − ∞ , 2 π ] [ π 2 , ∞ ) \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right) [ 2 π , ∞ )
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oolim x → − ∞ ( cot ( x ) 2 ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x → − ∞ lim ( 2 cot ( x ) ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ lim x → ∞ ( cot ( x ) 2 ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x → ∞ lim ( 2 cot ( x ) ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(x)/2, делённой на x при x->+oo и x ->-oolim x → − ∞ ( cot ( x ) 2 x ) = lim x → − ∞ ( cot ( x ) 2 x ) \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2 x}\right) x → − ∞ lim ( 2 x cot ( x ) ) = x → − ∞ lim ( 2 x cot ( x ) ) Возьмём предел y = x lim x → − ∞ ( cot ( x ) 2 x ) y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2 x}\right) y = x x → − ∞ lim ( 2 x cot ( x ) ) lim x → ∞ ( cot ( x ) 2 x ) = lim x → ∞ ( cot ( x ) 2 x ) \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2 x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2 x}\right) x → ∞ lim ( 2 x cot ( x ) ) = x → ∞ lim ( 2 x cot ( x ) ) Возьмём предел y = x lim x → ∞ ( cot ( x ) 2 x ) y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x \right)}}{2 x}\right) y = x x → ∞ lim ( 2 x cot ( x ) )
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).cot ( x ) 2 = − cot ( x ) 2 \frac{\cot{\left(x \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left(x \right)}}{2} 2 cot ( x ) = − 2 cot ( x ) cot ( x ) 2 = cot ( x ) 2 \frac{\cot{\left(x \right)}}{2} = \frac{\cot{\left(x \right)}}{2} 2 cot ( x ) = 2 cot ( x ) 
