График функции
0 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 60 80 -200 200
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0cot ( x − π 2 ) = 0 \cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)} = 0 cot ( x − 2 π ) = 0 Решаем это уравнение Аналитическое решение x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 Численное решение x 1 = − 100.530964914873 x_{1} = -100.530964914873 x 1 = − 100.530964914873 x 2 = − 78.5398163397448 x_{2} = -78.5398163397448 x 2 = − 78.5398163397448 x 3 = 97.3893722612836 x_{3} = 97.3893722612836 x 3 = 97.3893722612836 x 4 = 18.8495559215388 x_{4} = 18.8495559215388 x 4 = 18.8495559215388 x 5 = − 94.2477796076938 x_{5} = -94.2477796076938 x 5 = − 94.2477796076938 x 6 = − 65.9734457253857 x_{6} = -65.9734457253857 x 6 = − 65.9734457253857 x 7 = − 56.5486677646163 x_{7} = -56.5486677646163 x 7 = − 56.5486677646163 x 8 = 56.5486677646163 x_{8} = 56.5486677646163 x 8 = 56.5486677646163 x 9 = − 69.1150383789755 x_{9} = -69.1150383789755 x 9 = − 69.1150383789755 x 10 = 6.28318530717959 x_{10} = 6.28318530717959 x 10 = 6.28318530717959 x 11 = 78.5398163397448 x_{11} = 78.5398163397448 x 11 = 78.5398163397448 x 12 = − 3.14159265358979 x_{12} = -3.14159265358979 x 12 = − 3.14159265358979 x 13 = − 21.9911485751286 x_{13} = -21.9911485751286 x 13 = − 21.9911485751286 x 14 = 81.6814089933346 x_{14} = 81.6814089933346 x 14 = 81.6814089933346 x 15 = − 91.106186954104 x_{15} = -91.106186954104 x 15 = − 91.106186954104 x 16 = − 62.8318530717959 x_{16} = -62.8318530717959 x 16 = − 62.8318530717959 x 17 = − 31.4159265358979 x_{17} = -31.4159265358979 x 17 = − 31.4159265358979 x 18 = 0 x_{18} = 0 x 18 = 0 x 19 = 62.8318530717959 x_{19} = 62.8318530717959 x 19 = 62.8318530717959 x 20 = 84.8230016469244 x_{20} = 84.8230016469244 x 20 = 84.8230016469244 x 21 = 72.2566310325652 x_{21} = 72.2566310325652 x 21 = 72.2566310325652 x 22 = 91.106186954104 x_{22} = 91.106186954104 x 22 = 91.106186954104 x 23 = − 18.8495559215388 x_{23} = -18.8495559215388 x 23 = − 18.8495559215388 x 24 = − 9.42477796076938 x_{24} = -9.42477796076938 x 24 = − 9.42477796076938 x 25 = 28.2743338823081 x_{25} = 28.2743338823081 x 25 = 28.2743338823081 x 26 = 43.9822971502571 x_{26} = 43.9822971502571 x 26 = 43.9822971502571 x 27 = − 6.28318530717959 x_{27} = -6.28318530717959 x 27 = − 6.28318530717959 x 28 = − 34.5575191894877 x_{28} = -34.5575191894877 x 28 = − 34.5575191894877 x 29 = − 59.6902604182061 x_{29} = -59.6902604182061 x 29 = − 59.6902604182061 x 30 = − 53.4070751110265 x_{30} = -53.4070751110265 x 30 = − 53.4070751110265 x 31 = 87.9645943005142 x_{31} = 87.9645943005142 x 31 = 87.9645943005142 x 32 = 69.1150383789755 x_{32} = 69.1150383789755 x 32 = 69.1150383789755 x 33 = − 84.8230016469244 x_{33} = -84.8230016469244 x 33 = − 84.8230016469244 x 34 = − 75.398223686155 x_{34} = -75.398223686155 x 34 = − 75.398223686155 x 35 = 75.398223686155 x_{35} = 75.398223686155 x 35 = 75.398223686155 x 36 = 3.14159265358979 x_{36} = 3.14159265358979 x 36 = 3.14159265358979 x 37 = 100.530964914873 x_{37} = 100.530964914873 x 37 = 100.530964914873 x 38 = − 37.6991118430775 x_{38} = -37.6991118430775 x 38 = − 37.6991118430775 x 39 = 94.2477796076938 x_{39} = 94.2477796076938 x 39 = 94.2477796076938 x 40 = 21.9911485751286 x_{40} = 21.9911485751286 x 40 = 21.9911485751286 x 41 = − 87.9645943005142 x_{41} = -87.9645943005142 x 41 = − 87.9645943005142 x 42 = − 25.1327412287183 x_{42} = -25.1327412287183 x 42 = − 25.1327412287183 x 43 = 50.2654824574367 x_{43} = 50.2654824574367 x 43 = 50.2654824574367 x 44 = − 43.9822971502571 x_{44} = -43.9822971502571 x 44 = − 43.9822971502571 x 45 = 65.9734457253857 x_{45} = 65.9734457253857 x 45 = 65.9734457253857 x 46 = 9.42477796076938 x_{46} = 9.42477796076938 x 46 = 9.42477796076938 x 47 = 40.8407044966673 x_{47} = 40.8407044966673 x 47 = 40.8407044966673 x 48 = 37.6991118430775 x_{48} = 37.6991118430775 x 48 = 37.6991118430775 x 49 = − 28.2743338823081 x_{49} = -28.2743338823081 x 49 = − 28.2743338823081 x 50 = 53.4070751110265 x_{50} = 53.4070751110265 x 50 = 53.4070751110265 x 51 = − 40.8407044966673 x_{51} = -40.8407044966673 x 51 = − 40.8407044966673 x 52 = 47.1238898038469 x_{52} = 47.1238898038469 x 52 = 47.1238898038469 x 53 = − 50.2654824574367 x_{53} = -50.2654824574367 x 53 = − 50.2654824574367 x 54 = − 97.3893722612836 x_{54} = -97.3893722612836 x 54 = − 97.3893722612836 x 55 = 15.707963267949 x_{55} = 15.707963267949 x 55 = 15.707963267949 x 56 = 25.1327412287183 x_{56} = 25.1327412287183 x 56 = 25.1327412287183 x 57 = − 12.5663706143592 x_{57} = -12.5663706143592 x 57 = − 12.5663706143592 x 58 = 31.4159265358979 x_{58} = 31.4159265358979 x 58 = 31.4159265358979 x 59 = 12.5663706143592 x_{59} = 12.5663706143592 x 59 = 12.5663706143592 x 60 = 59.6902604182061 x_{60} = 59.6902604182061 x 60 = 59.6902604182061 x 61 = − 15.707963267949 x_{61} = -15.707963267949 x 61 = − 15.707963267949 x 62 = − 81.6814089933346 x_{62} = -81.6814089933346 x 62 = − 81.6814089933346 x 63 = − 72.2566310325652 x_{63} = -72.2566310325652 x 63 = − 72.2566310325652 x 64 = 34.5575191894877 x_{64} = 34.5575191894877 x 64 = 34.5575191894877 x 65 = − 47.1238898038469 x_{65} = -47.1238898038469 x 65 = − 47.1238898038469
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:cot ( − π 2 + 0 ) \cot{\left(- \frac{\pi}{2} + 0 \right)} cot ( − 2 π + 0 ) f ( 0 ) = 0 f{\left(0 \right)} = 0 f ( 0 ) = 0 (0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d x f ( x ) = 0 \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0 d x d f ( x ) = 0 d d x f ( x ) = \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = d x d f ( x ) = первая производная − cot 2 ( x − π 2 ) − 1 = 0 - \cot^{2}{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)} - 1 = 0 − cot 2 ( x − 2 π ) − 1 = 0 Решаем это уравнение
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d x 2 f ( x ) = 0 \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0 d x 2 d 2 f ( x ) = 0 d 2 d x 2 f ( x ) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = d x 2 d 2 f ( x ) = вторая производная − 2 ( tan 2 ( x ) + 1 ) tan ( x ) = 0 - 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} = 0 − 2 ( tan 2 ( x ) + 1 ) tan ( x ) = 0 Решаем это уравнение x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 Интервалы выпуклости и вогнутости: ( − ∞ , 0 ] \left(-\infty, 0\right] ( − ∞ , 0 ] [ 0 , ∞ ) \left[0, \infty\right) [ 0 , ∞ )
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oolim x → − ∞ cot ( x − π 2 ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ \lim_{x \to -\infty} \cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x → − ∞ lim cot ( x − 2 π ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ lim x → ∞ cot ( x − π 2 ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ \lim_{x \to \infty} \cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x → ∞ lim cot ( x − 2 π ) = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩ y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle y = ⟨ − ∞ , ∞ ⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(x - pi/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oolim x → − ∞ ( cot ( x − π 2 ) x ) = lim x → − ∞ ( cot ( x − π 2 ) x ) \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) x → − ∞ lim ( x cot ( x − 2 π ) ) = x → − ∞ lim ( x cot ( x − 2 π ) ) Возьмём предел y = x lim x → − ∞ ( cot ( x − π 2 ) x ) y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) y = x x → − ∞ lim ( x cot ( x − 2 π ) ) lim x → ∞ ( cot ( x − π 2 ) x ) = lim x → ∞ ( cot ( x − π 2 ) x ) \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) x → ∞ lim ( x cot ( x − 2 π ) ) = x → ∞ lim ( x cot ( x − 2 π ) ) Возьмём предел y = x lim x → ∞ ( cot ( x − π 2 ) x ) y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)}}{x}\right) y = x x → ∞ lim ( x cot ( x − 2 π ) )
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).cot ( x − π 2 ) = tan ( x ) \cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)} = \tan{\left(x \right)} cot ( x − 2 π ) = tan ( x ) cot ( x − π 2 ) = − tan ( x ) \cot{\left(x - \frac{\pi}{2} \right)} = - \tan{\left(x \right)} cot ( x − 2 π ) = − tan ( x ) 
