График функции y = cot(x)*cos(x)

Вы ввели

f(x) = cot(x)*cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 70.6858344566$$
$$x_{2} = 64.4026493057$$
$$x_{3} = -73.8274272797$$
$$x_{4} = -64.4026491374$$
$$x_{5} = -86.393797718$$
$$x_{6} = 54.97787098$$
$$x_{7} = 58.1194643608$$
$$x_{8} = -83.2522056071$$
$$x_{9} = -92.6769828188$$
$$x_{10} = 92.6769830369$$
$$x_{11} = 48.6946858762$$
$$x_{12} = -14.1371668348$$
$$x_{13} = 39.2699086836$$
$$x_{14} = -70.6858342354$$
$$x_{15} = 98.960168146$$
$$x_{16} = -26.7035370684$$
$$x_{17} = 86.3937978857$$
$$x_{18} = 61.2610559073$$
$$x_{19} = 20.4203521458$$
$$x_{20} = -89.5353907537$$
$$x_{21} = -45.5530935939$$
$$x_{22} = -36.1283154154$$
$$x_{23} = 14.1371671153$$
$$x_{24} = -98.9601691056$$
$$x_{25} = 98.960169643$$
$$x_{26} = -23.561945014$$
$$x_{27} = 83.2522045003$$
$$x_{28} = -67.5442421738$$
$$x_{29} = -48.6946870686$$
$$x_{30} = -51.8362786889$$
$$x_{31} = -20.4203519762$$
$$x_{32} = -1.57079643412$$
$$x_{33} = 29.8451303261$$
$$x_{34} = -39.2699084458$$
$$x_{35} = -4.71238987596$$
$$x_{36} = -92.6769842647$$
$$x_{37} = 61.2610572679$$
$$x_{38} = 83.2522058525$$
$$x_{39} = 80.1106131287$$
$$x_{40} = 10.995575243$$
$$x_{41} = 89.5353909276$$
$$x_{42} = 67.5442423467$$
$$x_{43} = 23.5619451851$$
$$x_{44} = 54.9778724409$$
$$x_{45} = 7.85398174563$$
$$x_{46} = -95.818575868$$
$$x_{47} = -26.7035384719$$
$$x_{48} = 10.9955738135$$
$$x_{49} = -10.9955733545$$
$$x_{50} = -70.6858356662$$
$$x_{51} = 73.8274274867$$
$$x_{52} = -48.694685652$$
$$x_{53} = -32.9867233536$$
$$x_{54} = -17.2787598652$$
$$x_{55} = -76.9690191421$$
$$x_{56} = -32.9867219512$$
$$x_{57} = 4.7123887153$$
$$x_{58} = -80.1106125767$$
$$x_{59} = -42.4115005569$$
$$x_{60} = -54.9778719374$$
$$x_{61} = -4.71238848456$$
$$x_{62} = -58.119463996$$
$$x_{63} = 39.2699073136$$
$$x_{64} = -76.9690205214$$
$$x_{65} = 1.57079660442$$
$$x_{66} = -29.8451300946$$
$$x_{67} = 42.4115007257$$
$$x_{68} = -7.85398149471$$
$$x_{69} = 32.9867223969$$
$$x_{70} = -61.2610570264$$
$$x_{71} = 51.8362789064$$
$$x_{72} = 17.2787600994$$
$$x_{73} = 26.7035372958$$
$$x_{74} = 76.9690195631$$
$$x_{75} = 95.818576067$$
$$x_{76} = -10.99557477$$
$$x_{77} = 17.2787587192$$
$$x_{78} = -54.977870547$$
$$x_{79} = -98.9601677364$$
$$x_{80} = 36.128315926$$
$$x_{81} = 76.9690210414$$
$$x_{82} = 32.9867238415$$
$$x_{83} = 45.5530937659$$

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 83.2522053201$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = 92.6769832809$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = 17.2787595947$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = -36.1283155163$$
$$x_{23} = -64.4026493986$$
$$x_{24} = 36.1283155163$$
$$x_{25} = -61.261056745$$
$$x_{26} = -92.6769832809$$
$$x_{27} = 32.9867228627$$
$$x_{28} = -14.1371669412$$
$$x_{29} = 80.1106126665$$
$$x_{30} = 4.71238898038$$
$$x_{31} = 10.9955742876$$
$$x_{32} = 7.85398163397$$
$$x_{33} = 23.5619449019$$
$$x_{34} = -39.2699081699$$
$$x_{35} = 64.4026493986$$
$$x_{36} = -73.8274273594$$
$$x_{37} = 20.4203522483$$
$$x_{38} = -26.7035375555$$
$$x_{39} = -83.2522053201$$
$$x_{40} = -98.9601685881$$
$$x_{41} = 48.6946861306$$
$$x_{42} = 14.1371669412$$
$$x_{43} = 98.9601685881$$
$$x_{44} = -45.5530934771$$
$$x_{45} = -51.8362787842$$
$$x_{46} = -67.5442420522$$
$$x_{47} = 54.9778714378$$
$$x_{48} = 26.7035375555$$
$$x_{49} = -86.3937979737$$
$$x_{50} = -20.4203522483$$
$$x_{51} = -7.85398163397$$
$$x_{52} = -4.71238898038$$
$$x_{53} = -76.9690200129$$
$$x_{54} = 89.5353906273$$
$$x_{55} = -10.9955742876$$
$$x_{56} = -1.57079632679$$
$$x_{57} = -23.5619449019$$
$$x_{58} = 73.8274273594$$
$$x_{59} = 70.6858347058$$
$$x_{60} = 29.8451302091$$
$$x_{61} = 42.4115008235$$
$$x_{62} = 67.5442420522$$
$$x_{63} = 58.1194640914$$
$$x_{64} = -29.8451302091$$
Зн. экстремумы в точках:

(-54.9778714378, 4.57281888661673e-22)

(39.2699081699, 7.60850274960269e-22)

(51.8362787842, 9.97989659894167e-22)

(86.3937979737, -3.72898896426701e-22)

(-17.2787595947, 1.92407269046283e-21)

(45.5530934771, 2.3037276003311e-21)

(61.261056745, -9.41875177684236e-25)

(83.2522053201, 8.71277741092906e-22)

(-70.6858347058, -8.79542079296826e-22)

(-89.5353906273, -8.28785614208299e-23)

(92.6769832809, -1.21673607529094e-24)

(76.9690200129, 2.49311095940631e-21)

(-32.9867228627, -5.14069882307664e-23)

(17.2787595947, -1.92407269046283e-21)

(-48.6946861306, 1.74705594078699e-21)

(-80.1106126665, 1.57801509541944e-21)

(-42.4115008235, 1.42810968281552e-21)

(-58.1194640914, -1.24932627089512e-22)

(1.57079632679, 2.39765824653132e-23)

(-95.8185759345, -1.27913420390085e-22)

(95.8185759345, 1.27913420390085e-22)

(-36.1283155163, 3.01949376765351e-22)

(-64.4026493986, -8.5440939434745e-23)

(36.1283155163, -3.01949376765351e-22)

(-61.261056745, 9.41875177684236e-25)

(-92.6769832809, 1.21673607529094e-24)

(32.9867228627, 5.14069882307664e-23)

(-14.1371669412, -2.10962991031087e-21)

(80.1106126665, -1.57801509541944e-21)

(4.71238898038, -2.19939028183543e-23)

(10.9955742876, -1.27619587166954e-21)

(7.85398163397, 2.00967747666649e-23)

(23.5619449019, -5.49930880589008e-22)

(-39.2699081699, -7.60850274960269e-22)

(64.4026493986, 8.5440939434745e-23)

(-73.8274273594, 1.58913041371836e-21)

(20.4203522483, 1.13282253069575e-21)

(-26.7035375555, -1.75397740142595e-22)

(-83.2522053201, -8.71277741092906e-22)

(-98.9601685881, 4.62968614365211e-22)

(48.6946861306, -1.74705594078699e-21)

(14.1371669412, 2.10962991031087e-21)

(98.9601685881, -4.62968614365211e-22)

(-45.5530934771, -2.3037276003311e-21)

(-51.8362787842, -9.97989659894167e-22)

(-67.5442420522, 3.78312254535619e-22)

(54.9778714378, -4.57281888661673e-22)

(26.7035375555, 1.75397740142595e-22)

(-86.3937979737, 3.72898896426701e-22)

(-20.4203522483, -1.13282253069575e-21)

(-7.85398163397, -2.00967747666649e-23)

(-4.71238898038, 2.19939028183543e-23)

(-76.9690200129, -2.49311095940631e-21)

(89.5353906273, 8.28785614208299e-23)

(-10.9955742876, 1.27619587166954e-21)

(-1.57079632679, -2.39765824653132e-23)

(-23.5619449019, 5.49930880589008e-22)

(73.8274273594, -1.58913041371836e-21)

(70.6858347058, 8.79542079296826e-22)

(29.8451302091, -9.22310935651419e-24)

(42.4115008235, -1.42810968281552e-21)

(67.5442420522, -3.78312254535619e-22)

(58.1194640914, 1.24932627089512e-22)

(-29.8451302091, 9.22310935651419e-24)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{64} = -54.9778714378$$
$$x_{64} = 39.2699081699$$
$$x_{64} = 51.8362787842$$
$$x_{64} = -17.2787595947$$
$$x_{64} = 45.5530934771$$
$$x_{64} = 83.2522053201$$
$$x_{64} = 76.9690200129$$
$$x_{64} = -48.6946861306$$
$$x_{64} = -80.1106126665$$
$$x_{64} = -42.4115008235$$
$$x_{64} = 1.57079632679$$
$$x_{64} = 95.8185759345$$
$$x_{64} = -36.1283155163$$
$$x_{64} = -61.261056745$$
$$x_{64} = -92.6769832809$$
$$x_{64} = 32.9867228627$$
$$x_{64} = 7.85398163397$$
$$x_{64} = 64.4026493986$$
$$x_{64} = -73.8274273594$$
$$x_{64} = 20.4203522483$$
$$x_{64} = -98.9601685881$$
$$x_{64} = 14.1371669412$$
$$x_{64} = -67.5442420522$$
$$x_{64} = 26.7035375555$$
$$x_{64} = -86.3937979737$$
$$x_{64} = -4.71238898038$$
$$x_{64} = 89.5353906273$$
$$x_{64} = -10.9955742876$$
$$x_{64} = -23.5619449019$$
$$x_{64} = 70.6858347058$$
$$x_{64} = 58.1194640914$$
$$x_{64} = -29.8451302091$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{64} = 86.3937979737$$
$$x_{64} = 61.261056745$$
$$x_{64} = -70.6858347058$$
$$x_{64} = -89.5353906273$$
$$x_{64} = 92.6769832809$$
$$x_{64} = -32.9867228627$$
$$x_{64} = 17.2787595947$$
$$x_{64} = -58.1194640914$$
$$x_{64} = -95.8185759345$$
$$x_{64} = -64.4026493986$$
$$x_{64} = 36.1283155163$$
$$x_{64} = -14.1371669412$$
$$x_{64} = 80.1106126665$$
$$x_{64} = 4.71238898038$$
$$x_{64} = 10.9955742876$$
$$x_{64} = 23.5619449019$$
$$x_{64} = -39.2699081699$$
$$x_{64} = -26.7035375555$$
$$x_{64} = -83.2522053201$$
$$x_{64} = 48.6946861306$$
$$x_{64} = 98.9601685881$$
$$x_{64} = -45.5530934771$$
$$x_{64} = -51.8362787842$$
$$x_{64} = 54.9778714378$$
$$x_{64} = -20.4203522483$$
$$x_{64} = -7.85398163397$$
$$x_{64} = -76.9690200129$$
$$x_{64} = -1.57079632679$$
$$x_{64} = 73.8274273594$$
$$x_{64} = 29.8451302091$$
$$x_{64} = 42.4115008235$$
$$x_{64} = 67.5442420522$$
Убывает на промежутках

[95.8185759345, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -98.9601685881]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(x)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} = - -1 \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной