График функции y = cot(x)^(2)

Вы ввели

          2   
f(x) = cot (x)

$$f{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -29.8451300929$$
$$x_{2} = 67.544242417$$
$$x_{3} = -32.9867236108$$
$$x_{4} = 39.2699089742$$
$$x_{5} = -73.8274272793$$
$$x_{6} = 76.9690193554$$
$$x_{7} = -17.2787599203$$
$$x_{8} = -4.71238821767$$
$$x_{9} = -36.1283154116$$
$$x_{10} = 17.2787603779$$
$$x_{11} = 7.85398175057$$
$$x_{12} = -64.4026490866$$
$$x_{13} = -61.2610570877$$
$$x_{14} = -86.39379767$$
$$x_{15} = 48.6946858295$$
$$x_{16} = -14.1371668305$$
$$x_{17} = -70.6858340007$$
$$x_{18} = 10.9955735773$$
$$x_{19} = -98.9601693978$$
$$x_{20} = 80.1106131141$$
$$x_{21} = 92.6769829953$$
$$x_{22} = 14.1371671242$$
$$x_{23} = 64.4026493028$$
$$x_{24} = -23.5619450188$$
$$x_{25} = -67.5442421799$$
$$x_{26} = 29.8451303316$$
$$x_{27} = -39.2699085039$$
$$x_{28} = 54.9778707632$$
$$x_{29} = 95.8185760749$$
$$x_{30} = 89.5353910016$$
$$x_{31} = -51.8362786881$$
$$x_{32} = -20.4203519195$$
$$x_{33} = 4.71238866313$$
$$x_{34} = 32.9867221706$$
$$x_{35} = 86.3937978832$$
$$x_{36} = 45.5530938326$$
$$x_{37} = 36.128315673$$
$$x_{38} = 58.1194643519$$
$$x_{39} = -1.57079643839$$
$$x_{40} = -80.1106125739$$
$$x_{41} = -26.7035368126$$
$$x_{42} = -45.5530935993$$
$$x_{43} = 70.6858344125$$
$$x_{44} = 83.2522061689$$
$$x_{45} = 23.5619452484$$
$$x_{46} = 73.8274274938$$
$$x_{47} = -58.1194639928$$
$$x_{48} = 61.2610575711$$
$$x_{49} = 51.8362789127$$
$$x_{50} = -10.9955750165$$
$$x_{51} = -76.9690208015$$
$$x_{52} = 98.9601679471$$
$$x_{53} = -95.8185758678$$
$$x_{54} = -42.4115005031$$
$$x_{55} = 1.57079666439$$
$$x_{56} = 26.7035372464$$
$$x_{57} = -92.6769825939$$
$$x_{58} = -83.2522056717$$
$$x_{59} = -48.6946854069$$
$$x_{60} = 42.4115007224$$
$$x_{61} = -7.85398149105$$
$$x_{62} = -89.5353907604$$
$$x_{63} = 20.420352142$$
$$x_{64} = -54.9778722058$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(x)^2.
$$\cot^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- 2 \cot^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \cot{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 0)
 2     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \cot^{2}{\left (x \right )}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \cot^{2}{\left (x \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot^{2}{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot^{2}{\left (x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot^{2}{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )}$$
- Да
$$\cot^{2}{\left (x \right )} = - \cot^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной