График функции y = cot(x^2-2)

Вы ввели

          / 2    \
f(x) = cot\x  - 2/

$$f{\left (x \right )} = \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot{\left (x^{2} - 2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \sqrt{2 \pi + 8}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \pi + 8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.7510252748$$
$$x_{2} = 34.5576968567$$
$$x_{3} = -7.75367423171$$
$$x_{4} = 98.257536241$$
$$x_{5} = -17.912890731$$
$$x_{6} = -51.7707227802$$
$$x_{7} = 43.7812827857$$
$$x_{8} = 25.3861319948$$
$$x_{9} = 64.2288125208$$
$$x_{10} = -45.7120150323$$
$$x_{11} = 60.1626457248$$
$$x_{12} = 38.2676283593$$
$$x_{13} = 32.0091925663$$
$$x_{14} = -53.9983998486$$
$$x_{15} = 52.1937739039$$
$$x_{16} = 36.2871399469$$
$$x_{17} = -0.655136377562$$
$$x_{18} = -84.0026565273$$
$$x_{19} = -100.110487805$$
$$x_{20} = 54.0855984913$$
$$x_{21} = 4.01710927673$$
$$x_{22} = 70.3451322628$$
$$x_{23} = -49.0920642159$$
$$x_{24} = 28.2558620057$$
$$x_{25} = 100.626946323$$
$$x_{26} = -19.7480807351$$
$$x_{27} = 34.1001244206$$
$$x_{28} = -87.5193241126$$
$$x_{29} = -65.7515071691$$
$$x_{30} = -47.9263334029$$
$$x_{31} = -93.9590578936$$
$$x_{32} = -61.8364573944$$
$$x_{33} = 42.2475304712$$
$$x_{34} = -64.0083277703$$
$$x_{35} = -15.7675306661$$
$$x_{36} = 19.8274629081$$
$$x_{37} = 24.3114915739$$
$$x_{38} = -24.1819237705$$
$$x_{39} = -95.829559793$$
$$x_{40} = 22.0053282713$$
$$x_{41} = -22.0053282713$$
$$x_{42} = -41.7989798807$$
$$x_{43} = 96.2221531343$$
$$x_{44} = 56.2495600502$$
$$x_{45} = -11.5054810905$$
$$x_{46} = 86.0167419918$$
$$x_{47} = -69.9195778925$$
$$x_{48} = 39.954452464$$
$$x_{49} = -37.7718449166$$
$$x_{50} = -98.0655103301$$
$$x_{51} = 72.0003964024$$
$$x_{52} = -13.7449904652$$
$$x_{53} = -1.88965508144$$
$$x_{54} = 94.8409667333$$
$$x_{55} = 7.95368196152$$
$$x_{56} = -72.0658161687$$
$$x_{57} = 19.1832099541$$
$$x_{58} = -67.7285351821$$
$$x_{59} = 67.9138220036$$
$$x_{60} = -6.17481299444$$
$$x_{61} = -92.0676174508$$
$$x_{62} = -4.01710927673$$
$$x_{63} = 49.1879614025$$
$$x_{64} = 76.0945757872$$
$$x_{65} = 90.0493189457$$
$$x_{66} = -91.7428794111$$
$$x_{67} = 50.4180291208$$
$$x_{68} = 92.0505545361$$
$$x_{69} = -9.73020982718$$
$$x_{70} = -72.0003964024$$
$$x_{71} = 78.2521136169$$
$$x_{72} = -33.7761356127$$
$$x_{73} = -26.6538767046$$
$$x_{74} = 30.3465953803$$
$$x_{75} = 11.6412064571$$
$$x_{76} = 74.0015215984$$
$$x_{77} = -29.8771069097$$
$$x_{78} = -44.4577437887$$
$$x_{79} = 10.2030270627$$
$$x_{80} = -31.7133860195$$
$$x_{81} = -34.375398782$$
$$x_{82} = 1.88965508144$$
$$x_{83} = -77.7486557387$$
$$x_{84} = -80.3517399115$$
$$x_{85} = 81.5932842618$$
$$x_{86} = 66.2512953891$$
$$x_{87} = 16.2580129959$$
$$x_{88} = 58.3063671897$$
$$x_{89} = -73.8315139873$$
$$x_{90} = -56.2216276284$$
$$x_{91} = 13.9716837996$$
$$x_{92} = 62.2415692729$$
$$x_{93} = 78.9316630747$$
$$x_{94} = 67.8675477223$$
$$x_{95} = -86.0532572782$$
$$x_{96} = -39.7968830574$$
$$x_{97} = 46.1905901181$$
$$x_{98} = -59.7171404665$$
$$x_{99} = -56.9434177248$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(x^2 - 2).
$$\cot{\left (-2 + 0^{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \cot{\left (2 \right )}$$
Точка:

(0, -cot(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 x \left(- \cot^{2}{\left (x^{2} - 2 \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -cot(2))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(4 x^{2} \left(\cot^{2}{\left (x^{2} - 2 \right )} + 1\right) \cot{\left (x^{2} - 2 \right )} - \cot^{2}{\left (x^{2} - 2 \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 6.89549386648$$
$$x_{2} = 50.9449176976$$
$$x_{3} = 30.2428899501$$
$$x_{4} = 19.9852656914$$
$$x_{5} = 36.2438235091$$
$$x_{6} = 22.0053165405$$
$$x_{7} = -9.73007413415$$
$$x_{8} = 48.5774143052$$
$$x_{9} = -6.17428195627$$
$$x_{10} = 56.3053826227$$
$$x_{11} = -59.8485150941$$
$$x_{12} = -84.0026563164$$
$$x_{13} = -69.6945578554$$
$$x_{14} = -98.0014179472$$
$$x_{15} = 92.255101067$$
$$x_{16} = -47.8935458262$$
$$x_{17} = -11.6411272211$$
$$x_{18} = -73.9378142441$$
$$x_{19} = -25.7547059133$$
$$x_{20} = -95.7475667554$$
$$x_{21} = 68.0755338853$$
$$x_{22} = -15.7674987786$$
$$x_{23} = -35.7639094371$$
$$x_{24} = 78.2521133561$$
$$x_{25} = 89.9969723589$$
$$x_{26} = 62.2668007346$$
$$x_{27} = -30.0344138966$$
$$x_{28} = 64.253263652$$
$$x_{29} = -75.7428369257$$
$$x_{30} = -31.6141648218$$
$$x_{31} = -53.9983990547$$
$$x_{32} = -7.75340605416$$
$$x_{33} = -56.1377462666$$
$$x_{34} = -18.000346536$$
$$x_{35} = 52.2539293076$$
$$x_{36} = 24.24678545$$
$$x_{37} = -81.7663643139$$
$$x_{38} = 26.2380950465$$
$$x_{39} = -57.9821806131$$
$$x_{40} = -89.7522854107$$
$$x_{41} = 85.961939782$$
$$x_{42} = 84.0587356925$$
$$x_{43} = 46.2585525491$$
$$x_{44} = 39.9937458617$$
$$x_{45} = -1.87068924915$$
$$x_{46} = 81.8431713939$$
$$x_{47} = 75.8464587765$$
$$x_{48} = -61.7856311151$$
$$x_{49} = -49.6330307618$$
$$x_{50} = 89.0141890064$$
$$x_{51} = 16.2579839082$$
$$x_{52} = -43.7453883177$$
$$x_{53} = 72.0003960675$$
$$x_{54} = 28.2558564647$$
$$x_{55} = -72.0003960675$$
$$x_{56} = -19.7480645044$$
$$x_{57} = 43.2034154433$$
$$x_{58} = -99.8276568681$$
$$x_{59} = -85.9984783378$$
$$x_{60} = 94.2428331876$$
$$x_{61} = 96.2547968266$$
$$x_{62} = -41.7613814794$$
$$x_{63} = 32.3508781712$$
$$x_{64} = 13.9716379678$$
$$x_{65} = 58.2524608568$$
$$x_{66} = 38.2676261287$$
$$x_{67} = -77.7486554728$$
$$x_{68} = -64.0083272937$$
$$x_{69} = 7.95343351266$$
$$x_{70} = -37.7302332372$$
$$x_{71} = 66.2512949593$$
$$x_{72} = -73.6184520687$$
$$x_{73} = 42.2475288135$$
$$x_{74} = 80.2539351354$$
$$x_{75} = 33.6829917208$$
$$x_{76} = -91.9993466439$$
$$x_{77} = -13.7449423281$$
$$x_{78} = 10.202909374$$
$$x_{79} = -67.7285347798$$
$$x_{80} = -24.0516490031$$
$$x_{81} = 60.0319573891$$
$$x_{82} = 4.01517883749$$
$$x_{83} = 73.8102351921$$
$$x_{84} = -51.7707218793$$
$$x_{85} = 11.9079431485$$
$$x_{86} = 70.2557557202$$
$$x_{87} = -27.7510194259$$
$$x_{88} = 1.87068924915$$
$$x_{89} = 18.000346536$$
$$x_{90} = -22.0053165405$$
$$x_{91} = -34.0078679724$$
$$x_{92} = 54.0855977013$$
$$x_{93} = 100.282936051$$
$$x_{94} = -65.7515067294$$
$$x_{95} = -39.7573911401$$
$$x_{96} = 98.0014179472$$
$$x_{97} = -93.9924875576$$
$$x_{98} = -87.7523376621$$
$$x_{99} = -45.7463636971$$
$$x_{100} = -4.01517883749$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1.87068924915, 1.87068924915]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -99.8276568681]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(x^2 - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot{\left (x^{2} - 2 \right )} = \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}$$
- Да
$$\cot{\left (x^{2} - 2 \right )} = - \cot{\left (x^{2} - 2 \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной