График функции y = sqrt(atan(x))

Вы ввели

         _________
f(x) = \/ atan(x) 

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(atan(x)).
$$\sqrt{\operatorname{atan}{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right) \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{x + \frac{1}{4 \operatorname{atan}{\left (x \right )}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\pi}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \frac{\sqrt{2} i}{2} \sqrt{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(atan(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = \sqrt{- \operatorname{atan}{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$\sqrt{\operatorname{atan}{\left (x \right )}} = - \sqrt{- \operatorname{atan}{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной