График функции y = sqrt(cos(x)-1)

Вы ввели

         ____________
f(x) = \/ cos(x) - 1 

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 50.2654824574367$$
$$x_{2} = -75.398223686155$$
$$x_{3} = -31.4159265358979$$
$$x_{4} = 12.5663706143592$$
$$x_{5} = 43.9822971502571$$
$$x_{6} = 56.5486677646163$$
$$x_{7} = 0$$
$$x_{8} = 69.1150383789755$$
$$x_{9} = 81.6814089933346$$
$$x_{10} = 75.398223686155$$
$$x_{11} = -81.6814089933346$$
$$x_{12} = -94.2477796076938$$
$$x_{13} = -62.8318530717959$$
$$x_{14} = -502.654824574367$$
$$x_{15} = 18.8495559215388$$
$$x_{16} = 12.5663706143592$$
$$x_{17} = 56.5486677646163$$
$$x_{18} = 94.2477796076938$$
$$x_{19} = 100.530964914873$$
$$x_{20} = 31.4159265358979$$
$$x_{21} = -43.9822971502571$$
$$x_{22} = -37.6991118430775$$
$$x_{23} = 37.6991118430775$$
$$x_{24} = -100.530964914873$$
$$x_{25} = 87.9645943005142$$
$$x_{26} = -12.5663706143592$$
$$x_{27} = 62.8318530717959$$
$$x_{28} = -69.1150383789755$$
$$x_{29} = 50.2654824574367$$
$$x_{30} = -18.8495559215388$$
$$x_{31} = -6.28318530717959$$
$$x_{32} = 6.28318530717959$$
$$x_{33} = 119.380520836412$$
$$x_{34} = -56.5486677646163$$
$$x_{35} = -87.9645943005142$$
$$x_{36} = 138.230076757951$$
$$x_{37} = 25.1327412287183$$
$$x_{38} = -25.1327412287183$$
$$x_{39} = -50.2654824574367$$
$$x_{40} = -6.28318530717961$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(cos(x) - 1*1).
$$\sqrt{\left(-1\right) 1 + \cos{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

       ________ 
(pi, \/ -1 - 1 )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{4 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} = \sqrt{\left\langle -2, 0\right\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \sqrt{\left\langle -2, 0\right\rangle}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} = \sqrt{\left\langle -2, 0\right\rangle}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \sqrt{\left\langle -2, 0\right\rangle}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(cos(x) - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} = \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}$$
- Да
$$\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1} = - \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График