График функции y = sqrt(log(sin(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
         _____________
f(x) = \/ log(sin(x)) 
f(x)=log(sin(x))f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}
График функции
0-80-70-60-50-40-30-20-101001
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(sin(x))=0\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Численное решение
x1=10.9955742875643x_{1} = -10.9955742875643
x2=67.5442420521806x_{2} = -67.5442420521806
x3=80.1106126665397x_{3} = -80.1106126665397
x4=86.3937979737193x_{4} = -86.3937979737193
x5=51.8362787842316x_{5} = 51.8362787842316
x6=61.261056745001x_{6} = -61.261056745001
x7=48.6946861306418x_{7} = -48.6946861306418
x8=7.85398163397448x_{8} = 7.85398163397448
x9=17.2787595947438x_{9} = -17.2787595947438
x10=64.4026493985908x_{10} = 64.4026493985908
x11=54.9778714378214x_{11} = -54.9778714378214
x12=17.2787595947439x_{12} = -17.2787595947439
x13=32.9867228626928x_{13} = 32.9867228626928
x14=4.7123889803847x_{14} = -4.7123889803847
x15=89.5353906273091x_{15} = 89.5353906273091
x16=20.4203522483337x_{16} = 20.4203522483337
x17=26.7035375555132x_{17} = 26.7035375555132
x18=10.9955742875643x_{18} = -10.9955742875643
x19=42.4115008234622x_{19} = -42.4115008234622
x20=61.261056745001x_{20} = -61.261056745001
x21=45.553093477052x_{21} = 45.553093477052
x22=54.9778714378214x_{22} = -54.9778714378214
x23=4.71238898038469x_{23} = -4.71238898038469
x24=73.8274273593601x_{24} = -73.8274273593601
x25=95.8185759344887x_{25} = 95.8185759344887
x26=23.5619449019235x_{26} = -23.5619449019235
x27=32.9867228626928x_{27} = 32.9867228626928
x28=26.7035375555132x_{28} = 26.7035375555132
x29=48.6946861306418x_{29} = -48.6946861306418
x30=39.2699081698724x_{30} = 39.2699081698724
x31=70.6858347057703x_{31} = 70.6858347057703
x32=92.6769832808989x_{32} = -92.6769832808989
x33=1.57079632679491x_{33} = 1.57079632679491
x34=14.1371669411541x_{34} = 14.1371669411541
x35=92.6769832808989x_{35} = -92.6769832808989
x36=98.9601685880785x_{36} = -98.9601685880785
x37=58.1194640914112x_{37} = 58.1194640914112
x38=76.9690200129499x_{38} = 76.9690200129499
x39=29.845130209103x_{39} = -29.845130209103
x40=108.384946548848x_{40} = 108.384946548848
x41=61.261056745001x_{41} = -61.261056745001
x42=36.1283155162826x_{42} = -36.1283155162826
x43=45.553093477052x_{43} = 45.553093477052
x44=83.2522053201295x_{44} = 83.2522053201295
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(log(sin(x))).
log(sin(0))\sqrt{\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
cos(x)2log(sin(x))sin(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \sin{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3π2x_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
 3*pi    ____   ___ 
(----, \/ pi *\/ I )
  2                 


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
14log(sin(x))(2+2cos2(x)sin2(x)+cos2(x)log(sin(x))sin2(x))=0- \frac{1}{4 \sqrt{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}} \left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=72.2566310311x_{1} = 72.2566310311
x2=80.1102393289x_{2} = -80.1102393289
x3=26.7024574141x_{3} = 26.7024574141
x4=28.2743338785x_{4} = 28.2743338785
x5=29.8448009017x_{5} = -29.8448009017
x6=64.4022244717x_{6} = 64.4022244717
x7=39.2712275155x_{7} = 39.2712275155
x8=14.1376263352x_{8} = 14.1376263352
x9=87.9645943061x_{9} = 87.9645943061
x10=23.5624608313x_{10} = -23.5624608313
x11=54.9791128833x_{11} = -54.9791128833
x12=10.996850099x_{12} = -10.996850099
x13=59.690260424x_{13} = -59.690260424
x14=32.9854248209x_{14} = 32.9854248209
x15=61.2621934206x_{15} = -61.2621934206
x16=83.2535018925x_{16} = 83.2535018925
x17=58.1200319867x_{17} = 58.1200319867
x18=95.8191564658x_{18} = 95.8191564658
x19=1.57191746788x_{19} = 1.57191746788
x20=89.5365668169x_{20} = 89.5365668169
x21=86.3927377003x_{21} = -86.3927377003
x22=45.5542428911x_{22} = 45.5542428911
x23=67.5448022126x_{23} = -67.5448022126
x24=48.6933427621x_{24} = -48.6933427621
x25=70.6847847714x_{25} = 70.6847847714
x26=92.6756358382x_{26} = -92.6756358382
x27=98.9613586186x_{27} = -98.9613586186
x28=7.85446193608x_{28} = 7.85446193608
x29=15.707963273x_{29} = -15.707963273
x30=20.4198814012x_{30} = 20.4198814012
x31=73.8271873067x_{31} = -73.8271873067
x32=51.8368100164x_{32} = 51.8368100164
x33=76.967708711x_{33} = 76.967708711
x34=43.9822971544x_{34} = 43.9822971544
x35=17.2798686705x_{35} = -17.2798686705
x36=36.1278878312x_{36} = -36.1278878312
x37=4.71105459623x_{37} = -4.71105459623
x38=42.4104094083x_{38} = -42.4104094083

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxlog(sin(x))=limxlog(sin(x))\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=limxlog(sin(x))y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}
limxlog(sin(x))=limxlog(sin(x))\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=limxlog(sin(x))y = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(log(sin(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(log(sin(x))x)=limx(log(sin(x))x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(log(sin(x))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)
limx(log(sin(x))x)=limx(log(sin(x))x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlimx(log(sin(x))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(sin(x))=log(sin(x))\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}}
- Нет
log(sin(x))=log(sin(x))\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = - \sqrt{\log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = sqrt(log(sin(x))) /media/krcore-image-pods/hash/xy/8/fb/f4880c84efd6e1fe26643fa58eee4.png