График функции y = sqrt(log(sin(x)))

Вы ввели

         _____________
f(x) = \/ log(sin(x)) 

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -10.9955742875643$$
$$x_{2} = -67.5442420521806$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 51.8362787842316$$
$$x_{6} = -61.261056745001$$
$$x_{7} = -48.6946861306418$$
$$x_{8} = 7.85398163397448$$
$$x_{9} = -17.2787595947438$$
$$x_{10} = 64.4026493985908$$
$$x_{11} = -54.9778714378214$$
$$x_{12} = -17.2787595947439$$
$$x_{13} = 32.9867228626928$$
$$x_{14} = -4.7123889803847$$
$$x_{15} = 89.5353906273091$$
$$x_{16} = 20.4203522483337$$
$$x_{17} = 26.7035375555132$$
$$x_{18} = -10.9955742875643$$
$$x_{19} = -42.4115008234622$$
$$x_{20} = -61.261056745001$$
$$x_{21} = 45.553093477052$$
$$x_{22} = -54.9778714378214$$
$$x_{23} = -4.71238898038469$$
$$x_{24} = -73.8274273593601$$
$$x_{25} = 95.8185759344887$$
$$x_{26} = -23.5619449019235$$
$$x_{27} = 32.9867228626928$$
$$x_{28} = 26.7035375555132$$
$$x_{29} = -48.6946861306418$$
$$x_{30} = 39.2699081698724$$
$$x_{31} = 70.6858347057703$$
$$x_{32} = -92.6769832808989$$
$$x_{33} = 1.57079632679491$$
$$x_{34} = 14.1371669411541$$
$$x_{35} = -92.6769832808989$$
$$x_{36} = -98.9601685880785$$
$$x_{37} = 58.1194640914112$$
$$x_{38} = 76.9690200129499$$
$$x_{39} = -29.845130209103$$
$$x_{40} = 108.384946548848$$
$$x_{41} = -61.261056745001$$
$$x_{42} = -36.1283155162826$$
$$x_{43} = 45.553093477052$$
$$x_{44} = 83.2522053201295$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(log(sin(x))).
$$\sqrt{\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 3*pi    ____   ___ 
(----, \/ pi *\/ I )
  2                 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{4 \sqrt{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}} \left(2 + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 72.2566310311$$
$$x_{2} = -80.1102393289$$
$$x_{3} = 26.7024574141$$
$$x_{4} = 28.2743338785$$
$$x_{5} = -29.8448009017$$
$$x_{6} = 64.4022244717$$
$$x_{7} = 39.2712275155$$
$$x_{8} = 14.1376263352$$
$$x_{9} = 87.9645943061$$
$$x_{10} = -23.5624608313$$
$$x_{11} = -54.9791128833$$
$$x_{12} = -10.996850099$$
$$x_{13} = -59.690260424$$
$$x_{14} = 32.9854248209$$
$$x_{15} = -61.2621934206$$
$$x_{16} = 83.2535018925$$
$$x_{17} = 58.1200319867$$
$$x_{18} = 95.8191564658$$
$$x_{19} = 1.57191746788$$
$$x_{20} = 89.5365668169$$
$$x_{21} = -86.3927377003$$
$$x_{22} = 45.5542428911$$
$$x_{23} = -67.5448022126$$
$$x_{24} = -48.6933427621$$
$$x_{25} = 70.6847847714$$
$$x_{26} = -92.6756358382$$
$$x_{27} = -98.9613586186$$
$$x_{28} = 7.85446193608$$
$$x_{29} = -15.707963273$$
$$x_{30} = 20.4198814012$$
$$x_{31} = -73.8271873067$$
$$x_{32} = 51.8368100164$$
$$x_{33} = 76.967708711$$
$$x_{34} = 43.9822971544$$
$$x_{35} = -17.2798686705$$
$$x_{36} = -36.1278878312$$
$$x_{37} = -4.71105459623$$
$$x_{38} = -42.4104094083$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(log(sin(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = \sqrt{\log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}}$$
- Нет
$$\sqrt{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} = - \sqrt{\log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График