График функции y = sqrt(tan(x))

Вы ввели

         ________
f(x) = \/ tan(x) 

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{\tan{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(tan(x)).
$$\sqrt{\tan{\left(0 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} + 4 \sqrt{\tan{\left(x \right)}}\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\tan{\left(x \right)}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\tan{\left(x \right)}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\tan{\left(x \right)}}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(tan(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\tan{\left(x \right)}}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{\tan{\left(x \right)}} = \sqrt{- \tan{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\sqrt{\tan{\left(x \right)}} = - \sqrt{- \tan{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График