График функции y = sqrt(x)-x+3

Вы ввели

         ___        
f(x) = \/ x  - x + 3

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x} - x + 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x} - x + 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{7}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5.30277563773199$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x) - x + 3.
$$\sqrt{0} - 0 + 3$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Точка:

(0, 3)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$-1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1/4, 13/4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{1}{4}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} - x + 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - x + 3\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x) - x + 3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x} - x + 3}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} - x + 3}{x}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x} - x + 3 = x + \sqrt{- x} + 3$$
- Нет
$$\sqrt{x} - x + 3 = - x - \sqrt{- x} - 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График