График функции y = sqrt(z)

Вы ввели

         ___
f(z) = \/ z 

$$f{\left(z \right)} = \sqrt{z}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Z при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{z} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Z:

Аналитическое решение
$$z_{1} = 0$$
Численное решение
$$z_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда z равняется 0:
подставляем z = 0 в sqrt(z).
$$\sqrt{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =$$
первая производная
$$\frac{1}{2 \sqrt{z}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{1}{4 z^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при z->+oo и z->-oo
$$\lim_{z \to -\infty} \sqrt{z} = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{z \to \infty} \sqrt{z} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(z), делённой на z при z->+oo и z ->-oo
$$\lim_{z \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{z}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{z \to \infty} \frac{1}{\sqrt{z}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-z) и f = -f(-z).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{z} = \sqrt{- z}$$
- Нет
$$\sqrt{z} = - \sqrt{- z}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График