График функции y = log(Abs(sin(x)))

Вы ввели

f(x) = log(|sin(x)|)

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 17.2787588524$$
$$x_{2} = 67.5442423432$$
$$x_{3} = 86.3937978857$$
$$x_{4} = 95.8185760669$$
$$x_{5} = 67.5442406276$$
$$x_{6} = 36.1283156369$$
$$x_{7} = -32.9867233287$$
$$x_{8} = -23.561945014$$
$$x_{9} = -64.402650911$$
$$x_{10} = -61.2610570234$$
$$x_{11} = -61.261055221$$
$$x_{12} = 10.9955750764$$
$$x_{13} = -42.4115023788$$
$$x_{14} = 48.6946858782$$
$$x_{15} = 73.8274274866$$
$$x_{16} = 39.2699086547$$
$$x_{17} = 89.5353909238$$
$$x_{18} = 70.6858344584$$
$$x_{19} = 83.25220582$$
$$x_{20} = 83.2522046133$$
$$x_{21} = 29.845130326$$
$$x_{22} = -86.3937994375$$
$$x_{23} = -1.57079643406$$
$$x_{24} = -89.5353907536$$
$$x_{25} = -4.71238973522$$
$$x_{26} = -42.4115005592$$
$$x_{27} = -64.4026491396$$
$$x_{28} = 98.9601694339$$
$$x_{29} = 20.4203521459$$
$$x_{30} = 23.5619433472$$
$$x_{31} = -98.9601678624$$
$$x_{32} = -45.5530935939$$
$$x_{33} = -70.6858354999$$
$$x_{34} = -26.7035383231$$
$$x_{35} = -26.7035370925$$
$$x_{36} = -54.977871911$$
$$x_{37} = -95.818575868$$
$$x_{38} = -7.85398149476$$
$$x_{39} = -76.9690204934$$
$$x_{40} = -58.119463996$$
$$x_{41} = -20.4203538482$$
$$x_{42} = 45.553091995$$
$$x_{43} = -39.269906587$$
$$x_{44} = -67.5442421737$$
$$x_{45} = 26.7035372979$$
$$x_{46} = 61.2610560266$$
$$x_{47} = -92.6769840889$$
$$x_{48} = 4.71238871767$$
$$x_{49} = -98.9601690759$$
$$x_{50} = 64.4026493057$$
$$x_{51} = -80.1106125768$$
$$x_{52} = -17.2787598626$$
$$x_{53} = 54.9778722543$$
$$x_{54} = -29.8451300946$$
$$x_{55} = -4.71238851019$$
$$x_{56} = -83.2522056038$$
$$x_{57} = 32.9867236652$$
$$x_{58} = 32.9867224177$$
$$x_{59} = -54.9778706878$$
$$x_{60} = 98.9601681633$$
$$x_{61} = -83.252203849$$
$$x_{62} = 42.4115007258$$
$$x_{63} = -92.6769828388$$
$$x_{64} = 92.6769830386$$
$$x_{65} = -48.6946856747$$
$$x_{66} = 80.1106131295$$
$$x_{67} = 76.9690208439$$
$$x_{68} = 51.8362789063$$
$$x_{69} = -39.269908443$$
$$x_{70} = 10.9955738356$$
$$x_{71} = 54.9778709996$$
$$x_{72} = -14.1371668349$$
$$x_{73} = -70.6858342568$$
$$x_{74} = -10.9955747465$$
$$x_{75} = 76.9690195815$$
$$x_{76} = -73.8274272797$$
$$x_{77} = 58.1194643704$$
$$x_{78} = 14.137167115$$
$$x_{79} = 89.535389252$$
$$x_{80} = 17.2787600722$$
$$x_{81} = -36.1283154154$$
$$x_{82} = -51.8362786889$$
$$x_{83} = -48.6946869113$$
$$x_{84} = -86.3937977199$$
$$x_{85} = -20.4203519788$$
$$x_{86} = 45.5530937626$$
$$x_{87} = -10.995573512$$
$$x_{88} = -32.9867221001$$
$$x_{89} = 7.85398174557$$
$$x_{90} = 39.2699074396$$
$$x_{91} = -76.9690192753$$
$$x_{92} = 1.57079660167$$
$$x_{93} = 61.2610572373$$
$$x_{94} = 23.5619451821$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(Abs(sin(x))).
$$\log{\left (\left|{\sin{\left (0 \right )}}\right| \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left|{\sin{\left (x \right )}}\right|} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2279.22547018$$
$$x_{2} = -54.9778714378$$
$$x_{3} = 39.2699081699$$
$$x_{4} = 51.8362787842$$
$$x_{5} = 86.3937979737$$
$$x_{6} = -17.2787595947$$
$$x_{7} = 237.190245346$$
$$x_{8} = 45.5530934771$$
$$x_{9} = 61.261056745$$
$$x_{10} = 83.2522053201$$
$$x_{11} = -70.6858347058$$
$$x_{12} = -89.5353906273$$
$$x_{13} = -183.783170235$$
$$x_{14} = 92.6769832809$$
$$x_{15} = 76.9690200129$$
$$x_{16} = -32.9867228627$$
$$x_{17} = -4.71238898038$$
$$x_{18} = -48.6946861306$$
$$x_{19} = -80.1106126665$$
$$x_{20} = -42.4115008235$$
$$x_{21} = -58.1194640914$$
$$x_{22} = 1.57079632679$$
$$x_{23} = -95.8185759345$$
$$x_{24} = 17.2787595947$$
$$x_{25} = 95.8185759345$$
$$x_{26} = -36.1283155163$$
$$x_{27} = -64.4026493986$$
$$x_{28} = 36.1283155163$$
$$x_{29} = -61.261056745$$
$$x_{30} = -92.6769832809$$
$$x_{31} = 32.9867228627$$
$$x_{32} = -14.1371669412$$
$$x_{33} = 80.1106126665$$
$$x_{34} = 4.71238898038$$
$$x_{35} = 10.9955742876$$
$$x_{36} = 7.85398163397$$
$$x_{37} = 23.5619449019$$
$$x_{38} = -39.2699081699$$
$$x_{39} = 64.4026493986$$
$$x_{40} = -73.8274273594$$
$$x_{41} = 20.4203522483$$
$$x_{42} = -26.7035375555$$
$$x_{43} = -83.2522053201$$
$$x_{44} = -98.9601685881$$
$$x_{45} = 48.6946861306$$
$$x_{46} = 29.8451302091$$
$$x_{47} = 14.1371669412$$
$$x_{48} = 98.9601685881$$
$$x_{49} = -45.5530934771$$
$$x_{50} = -51.8362787842$$
$$x_{51} = -67.5442420522$$
$$x_{52} = 54.9778714378$$
$$x_{53} = 26.7035375555$$
$$x_{54} = -86.3937979737$$
$$x_{55} = -20.4203522483$$
$$x_{56} = -306.305283725$$
$$x_{57} = -7.85398163397$$
$$x_{58} = -76.9690200129$$
$$x_{59} = 89.5353906273$$
$$x_{60} = -10.9955742876$$
$$x_{61} = -1.57079632679$$
$$x_{62} = -23.5619449019$$
$$x_{63} = 73.8274273594$$
$$x_{64} = 70.6858347058$$
$$x_{65} = 0$$
$$x_{66} = 42.4115008235$$
$$x_{67} = 67.5442420522$$
$$x_{68} = 58.1194640914$$
$$x_{69} = -29.8451302091$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2279.22547018, 2.36364252615315e-125)

(-54.9778714378, 2.36364252615315e-125)

(39.2699081699, 2.36364252615315e-125)

(51.8362787842, 2.36364252615315e-125)

(86.3937979737, 2.36364252615315e-125)

(-17.2787595947, 2.36364252615315e-125)

(237.190245346, 2.36364252615315e-125)

(45.5530934771, 2.36364252615315e-125)

(61.261056745, 2.36364252615315e-125)

(83.2522053201, 2.36364252615315e-125)

(-70.6858347058, 2.36364252615315e-125)

(-89.5353906273, 2.36364252615315e-125)

(-183.783170235, 2.36364252615315e-125)

(92.6769832809, 2.36364252615315e-125)

(76.9690200129, 2.36364252615315e-125)

(-32.9867228627, 2.36364252615315e-125)

(-4.71238898038, 2.36364252615315e-125)

(-48.6946861306, 2.36364252615315e-125)

(-80.1106126665, 2.36364252615315e-125)

(-42.4115008235, 2.36364252615315e-125)

(-58.1194640914, 2.36364252615315e-125)

(1.57079632679, 2.36364252615315e-125)

(-95.8185759345, 2.36364252615315e-125)

(17.2787595947, 2.36364252615315e-125)

(95.8185759345, 2.36364252615315e-125)

(-36.1283155163, 2.36364252615315e-125)

(-64.4026493986, 2.36364252615315e-125)

(36.1283155163, 2.36364252615315e-125)

(-61.261056745, 2.36364252615315e-125)

(-92.6769832809, 2.36364252615315e-125)

(32.9867228627, 2.36364252615315e-125)

(-14.1371669412, 2.36364252615315e-125)

(80.1106126665, 2.36364252615315e-125)

(4.71238898038, 2.36364252615315e-125)

(10.9955742876, 2.36364252615315e-125)

(7.85398163397, 2.36364252615315e-125)

(23.5619449019, 2.36364252615315e-125)

(-39.2699081699, 2.36364252615315e-125)

(64.4026493986, 2.36364252615315e-125)

(-73.8274273594, 2.36364252615315e-125)

(20.4203522483, 2.36364252615315e-125)

(-26.7035375555, 2.36364252615315e-125)

(-83.2522053201, 2.36364252615315e-125)

(-98.9601685881, 2.36364252615315e-125)

(48.6946861306, 2.36364252615315e-125)

(29.8451302091, 2.36364252615315e-125)

(14.1371669412, 2.36364252615315e-125)

(98.9601685881, 2.36364252615315e-125)

(-45.5530934771, 2.36364252615315e-125)

(-51.8362787842, 2.36364252615315e-125)

(-67.5442420522, 2.36364252615315e-125)

(54.9778714378, 2.36364252615315e-125)

(26.7035375555, 2.36364252615315e-125)

(-86.3937979737, 2.36364252615315e-125)

(-20.4203522483, 2.36364252615315e-125)

(-306.305283725, 2.36364252615315e-125)

(-7.85398163397, 2.36364252615315e-125)

(-76.9690200129, 2.36364252615315e-125)

(89.5353906273, 2.36364252615315e-125)

(-10.9955742876, 2.36364252615315e-125)

(-1.57079632679, 2.36364252615315e-125)

(-23.5619449019, 2.36364252615315e-125)

(73.8274273594, 2.36364252615315e-125)

(70.6858347058, 2.36364252615315e-125)

(0, zoo)

(42.4115008235, 2.36364252615315e-125)

(67.5442420522, 2.36364252615315e-125)

(58.1194640914, 2.36364252615315e-125)

(-29.8451302091, 2.36364252615315e-125)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{69} = -2279.22547018$$
$$x_{69} = -54.9778714378$$
$$x_{69} = 39.2699081699$$
$$x_{69} = 51.8362787842$$
$$x_{69} = 86.3937979737$$
$$x_{69} = -17.2787595947$$
$$x_{69} = 237.190245346$$
$$x_{69} = 45.5530934771$$
$$x_{69} = 61.261056745$$
$$x_{69} = 83.2522053201$$
$$x_{69} = -70.6858347058$$
$$x_{69} = -89.5353906273$$
$$x_{69} = -183.783170235$$
$$x_{69} = 92.6769832809$$
$$x_{69} = 76.9690200129$$
$$x_{69} = -32.9867228627$$
$$x_{69} = -4.71238898038$$
$$x_{69} = -48.6946861306$$
$$x_{69} = -80.1106126665$$
$$x_{69} = -42.4115008235$$
$$x_{69} = -58.1194640914$$
$$x_{69} = 1.57079632679$$
$$x_{69} = -95.8185759345$$
$$x_{69} = 17.2787595947$$
$$x_{69} = 95.8185759345$$
$$x_{69} = -36.1283155163$$
$$x_{69} = -64.4026493986$$
$$x_{69} = 36.1283155163$$
$$x_{69} = -61.261056745$$
$$x_{69} = -92.6769832809$$
$$x_{69} = 32.9867228627$$
$$x_{69} = -14.1371669412$$
$$x_{69} = 80.1106126665$$
$$x_{69} = 4.71238898038$$
$$x_{69} = 10.9955742876$$
$$x_{69} = 7.85398163397$$
$$x_{69} = 23.5619449019$$
$$x_{69} = -39.2699081699$$
$$x_{69} = 64.4026493986$$
$$x_{69} = -73.8274273594$$
$$x_{69} = 20.4203522483$$
$$x_{69} = -26.7035375555$$
$$x_{69} = -83.2522053201$$
$$x_{69} = -98.9601685881$$
$$x_{69} = 48.6946861306$$
$$x_{69} = 29.8451302091$$
$$x_{69} = 14.1371669412$$
$$x_{69} = 98.9601685881$$
$$x_{69} = -45.5530934771$$
$$x_{69} = -51.8362787842$$
$$x_{69} = -67.5442420522$$
$$x_{69} = 54.9778714378$$
$$x_{69} = 26.7035375555$$
$$x_{69} = -86.3937979737$$
$$x_{69} = -20.4203522483$$
$$x_{69} = -306.305283725$$
$$x_{69} = -7.85398163397$$
$$x_{69} = -76.9690200129$$
$$x_{69} = 89.5353906273$$
$$x_{69} = -10.9955742876$$
$$x_{69} = -1.57079632679$$
$$x_{69} = -23.5619449019$$
$$x_{69} = 73.8274273594$$
$$x_{69} = 70.6858347058$$
$$x_{69} = 42.4115008235$$
$$x_{69} = 67.5442420522$$
$$x_{69} = 58.1194640914$$
$$x_{69} = -29.8451302091$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2279.22547018]

Возрастает на промежутках

[237.190245346, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(Abs(sin(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}$$
- Да
$$\log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = - \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной