Графики функций/ Построение в 2D/ y = log(Abs(sin(x)))

График функции y = log(Abs(sin(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = log(|sin(x)|)
f(x)=log⁡(∣sin⁡(x)∣)f{\left (x \right )} = \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}
График функции
0-25000-20000-15000-10000-50005000100001500020000250005-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log⁡(∣sin⁡(x)∣)=0\log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=17.2787588524x_{1} = 17.2787588524
x2=67.5442423432x_{2} = 67.5442423432
x3=86.3937978857x_{3} = 86.3937978857
x4=95.8185760669x_{4} = 95.8185760669
x5=67.5442406276x_{5} = 67.5442406276
x6=36.1283156369x_{6} = 36.1283156369
x7=−32.9867233287x_{7} = -32.9867233287
x8=−23.561945014x_{8} = -23.561945014
x9=−64.402650911x_{9} = -64.402650911
x10=−61.2610570234x_{10} = -61.2610570234
x11=−61.261055221x_{11} = -61.261055221
x12=10.9955750764x_{12} = 10.9955750764
x13=−42.4115023788x_{13} = -42.4115023788
x14=48.6946858782x_{14} = 48.6946858782
x15=73.8274274866x_{15} = 73.8274274866
x16=39.2699086547x_{16} = 39.2699086547
x17=89.5353909238x_{17} = 89.5353909238
x18=70.6858344584x_{18} = 70.6858344584
x19=83.25220582x_{19} = 83.25220582
x20=83.2522046133x_{20} = 83.2522046133
x21=29.845130326x_{21} = 29.845130326
x22=−86.3937994375x_{22} = -86.3937994375
x23=−1.57079643406x_{23} = -1.57079643406
x24=−89.5353907536x_{24} = -89.5353907536
x25=−4.71238973522x_{25} = -4.71238973522
x26=−42.4115005592x_{26} = -42.4115005592
x27=−64.4026491396x_{27} = -64.4026491396
x28=98.9601694339x_{28} = 98.9601694339
x29=20.4203521459x_{29} = 20.4203521459
x30=23.5619433472x_{30} = 23.5619433472
x31=−98.9601678624x_{31} = -98.9601678624
x32=−45.5530935939x_{32} = -45.5530935939
x33=−70.6858354999x_{33} = -70.6858354999
x34=−26.7035383231x_{34} = -26.7035383231
x35=−26.7035370925x_{35} = -26.7035370925
x36=−54.977871911x_{36} = -54.977871911
x37=−95.818575868x_{37} = -95.818575868
x38=−7.85398149476x_{38} = -7.85398149476
x39=−76.9690204934x_{39} = -76.9690204934
x40=−58.119463996x_{40} = -58.119463996
x41=−20.4203538482x_{41} = -20.4203538482
x42=45.553091995x_{42} = 45.553091995
x43=−39.269906587x_{43} = -39.269906587
x44=−67.5442421737x_{44} = -67.5442421737
x45=26.7035372979x_{45} = 26.7035372979
x46=61.2610560266x_{46} = 61.2610560266
x47=−92.6769840889x_{47} = -92.6769840889
x48=4.71238871767x_{48} = 4.71238871767
x49=−98.9601690759x_{49} = -98.9601690759
x50=64.4026493057x_{50} = 64.4026493057
x51=−80.1106125768x_{51} = -80.1106125768
x52=−17.2787598626x_{52} = -17.2787598626
x53=54.9778722543x_{53} = 54.9778722543
x54=−29.8451300946x_{54} = -29.8451300946
x55=−4.71238851019x_{55} = -4.71238851019
x56=−83.2522056038x_{56} = -83.2522056038
x57=32.9867236652x_{57} = 32.9867236652
x58=32.9867224177x_{58} = 32.9867224177
x59=−54.9778706878x_{59} = -54.9778706878
x60=98.9601681633x_{60} = 98.9601681633
x61=−83.252203849x_{61} = -83.252203849
x62=42.4115007258x_{62} = 42.4115007258
x63=−92.6769828388x_{63} = -92.6769828388
x64=92.6769830386x_{64} = 92.6769830386
x65=−48.6946856747x_{65} = -48.6946856747
x66=80.1106131295x_{66} = 80.1106131295
x67=76.9690208439x_{67} = 76.9690208439
x68=51.8362789063x_{68} = 51.8362789063
x69=−39.269908443x_{69} = -39.269908443
x70=10.9955738356x_{70} = 10.9955738356
x71=54.9778709996x_{71} = 54.9778709996
x72=−14.1371668349x_{72} = -14.1371668349
x73=−70.6858342568x_{73} = -70.6858342568
x74=−10.9955747465x_{74} = -10.9955747465
x75=76.9690195815x_{75} = 76.9690195815
x76=−73.8274272797x_{76} = -73.8274272797
x77=58.1194643704x_{77} = 58.1194643704
x78=14.137167115x_{78} = 14.137167115
x79=89.535389252x_{79} = 89.535389252
x80=17.2787600722x_{80} = 17.2787600722
x81=−36.1283154154x_{81} = -36.1283154154
x82=−51.8362786889x_{82} = -51.8362786889
x83=−48.6946869113x_{83} = -48.6946869113
x84=−86.3937977199x_{84} = -86.3937977199
x85=−20.4203519788x_{85} = -20.4203519788
x86=45.5530937626x_{86} = 45.5530937626
x87=−10.995573512x_{87} = -10.995573512
x88=−32.9867221001x_{88} = -32.9867221001
x89=7.85398174557x_{89} = 7.85398174557
x90=39.2699074396x_{90} = 39.2699074396
x91=−76.9690192753x_{91} = -76.9690192753
x92=1.57079660167x_{92} = 1.57079660167
x93=61.2610572373x_{93} = 61.2610572373
x94=23.5619451821x_{94} = 23.5619451821
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(Abs(sin(x))).
log⁡(∣sin⁡(0)∣)\log{\left (\left|{\sin{\left (0 \right )}}\right| \right )}
Результат:
f(0)=∞~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos⁡(x)∣sin⁡(x)∣sign⁡(sin⁡(x))=0\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left|{\sin{\left (x \right )}}\right|} \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−2279.22547018x_{1} = -2279.22547018
x2=−54.9778714378x_{2} = -54.9778714378
x3=39.2699081699x_{3} = 39.2699081699
x4=51.8362787842x_{4} = 51.8362787842
x5=86.3937979737x_{5} = 86.3937979737
x6=−17.2787595947x_{6} = -17.2787595947
x7=237.190245346x_{7} = 237.190245346
x8=45.5530934771x_{8} = 45.5530934771
x9=61.261056745x_{9} = 61.261056745
x10=83.2522053201x_{10} = 83.2522053201
x11=−70.6858347058x_{11} = -70.6858347058
x12=−89.5353906273x_{12} = -89.5353906273
x13=−183.783170235x_{13} = -183.783170235
x14=92.6769832809x_{14} = 92.6769832809
x15=76.9690200129x_{15} = 76.9690200129
x16=−32.9867228627x_{16} = -32.9867228627
x17=−4.71238898038x_{17} = -4.71238898038
x18=−48.6946861306x_{18} = -48.6946861306
x19=−80.1106126665x_{19} = -80.1106126665
x20=−42.4115008235x_{20} = -42.4115008235
x21=−58.1194640914x_{21} = -58.1194640914
x22=1.57079632679x_{22} = 1.57079632679
x23=−95.8185759345x_{23} = -95.8185759345
x24=17.2787595947x_{24} = 17.2787595947
x25=95.8185759345x_{25} = 95.8185759345
x26=−36.1283155163x_{26} = -36.1283155163
x27=−64.4026493986x_{27} = -64.4026493986
x28=36.1283155163x_{28} = 36.1283155163
x29=−61.261056745x_{29} = -61.261056745
x30=−92.6769832809x_{30} = -92.6769832809
x31=32.9867228627x_{31} = 32.9867228627
x32=−14.1371669412x_{32} = -14.1371669412
x33=80.1106126665x_{33} = 80.1106126665
x34=4.71238898038x_{34} = 4.71238898038
x35=10.9955742876x_{35} = 10.9955742876
x36=7.85398163397x_{36} = 7.85398163397
x37=23.5619449019x_{37} = 23.5619449019
x38=−39.2699081699x_{38} = -39.2699081699
x39=64.4026493986x_{39} = 64.4026493986
x40=−73.8274273594x_{40} = -73.8274273594
x41=20.4203522483x_{41} = 20.4203522483
x42=−26.7035375555x_{42} = -26.7035375555
x43=−83.2522053201x_{43} = -83.2522053201
x44=−98.9601685881x_{44} = -98.9601685881
x45=48.6946861306x_{45} = 48.6946861306
x46=29.8451302091x_{46} = 29.8451302091
x47=14.1371669412x_{47} = 14.1371669412
x48=98.9601685881x_{48} = 98.9601685881
x49=−45.5530934771x_{49} = -45.5530934771
x50=−51.8362787842x_{50} = -51.8362787842
x51=−67.5442420522x_{51} = -67.5442420522
x52=54.9778714378x_{52} = 54.9778714378
x53=26.7035375555x_{53} = 26.7035375555
x54=−86.3937979737x_{54} = -86.3937979737
x55=−20.4203522483x_{55} = -20.4203522483
x56=−306.305283725x_{56} = -306.305283725
x57=−7.85398163397x_{57} = -7.85398163397
x58=−76.9690200129x_{58} = -76.9690200129
x59=89.5353906273x_{59} = 89.5353906273
x60=−10.9955742876x_{60} = -10.9955742876
x61=−1.57079632679x_{61} = -1.57079632679
x62=−23.5619449019x_{62} = -23.5619449019
x63=73.8274273594x_{63} = 73.8274273594
x64=70.6858347058x_{64} = 70.6858347058
x65=0x_{65} = 0
x66=42.4115008235x_{66} = 42.4115008235
x67=67.5442420522x_{67} = 67.5442420522
x68=58.1194640914x_{68} = 58.1194640914
x69=−29.8451302091x_{69} = -29.8451302091
Зн. экстремумы в точках:
(-2279.22547018, 2.36364252615315e-125)

(-54.9778714378, 2.36364252615315e-125)

(39.2699081699, 2.36364252615315e-125)

(51.8362787842, 2.36364252615315e-125)

(86.3937979737, 2.36364252615315e-125)

(-17.2787595947, 2.36364252615315e-125)

(237.190245346, 2.36364252615315e-125)

(45.5530934771, 2.36364252615315e-125)

(61.261056745, 2.36364252615315e-125)

(83.2522053201, 2.36364252615315e-125)

(-70.6858347058, 2.36364252615315e-125)

(-89.5353906273, 2.36364252615315e-125)

(-183.783170235, 2.36364252615315e-125)

(92.6769832809, 2.36364252615315e-125)

(76.9690200129, 2.36364252615315e-125)

(-32.9867228627, 2.36364252615315e-125)

(-4.71238898038, 2.36364252615315e-125)

(-48.6946861306, 2.36364252615315e-125)

(-80.1106126665, 2.36364252615315e-125)

(-42.4115008235, 2.36364252615315e-125)

(-58.1194640914, 2.36364252615315e-125)

(1.57079632679, 2.36364252615315e-125)

(-95.8185759345, 2.36364252615315e-125)

(17.2787595947, 2.36364252615315e-125)

(95.8185759345, 2.36364252615315e-125)

(-36.1283155163, 2.36364252615315e-125)

(-64.4026493986, 2.36364252615315e-125)

(36.1283155163, 2.36364252615315e-125)

(-61.261056745, 2.36364252615315e-125)

(-92.6769832809, 2.36364252615315e-125)

(32.9867228627, 2.36364252615315e-125)

(-14.1371669412, 2.36364252615315e-125)

(80.1106126665, 2.36364252615315e-125)

(4.71238898038, 2.36364252615315e-125)

(10.9955742876, 2.36364252615315e-125)

(7.85398163397, 2.36364252615315e-125)

(23.5619449019, 2.36364252615315e-125)

(-39.2699081699, 2.36364252615315e-125)

(64.4026493986, 2.36364252615315e-125)

(-73.8274273594, 2.36364252615315e-125)

(20.4203522483, 2.36364252615315e-125)

(-26.7035375555, 2.36364252615315e-125)

(-83.2522053201, 2.36364252615315e-125)

(-98.9601685881, 2.36364252615315e-125)

(48.6946861306, 2.36364252615315e-125)

(29.8451302091, 2.36364252615315e-125)

(14.1371669412, 2.36364252615315e-125)

(98.9601685881, 2.36364252615315e-125)

(-45.5530934771, 2.36364252615315e-125)

(-51.8362787842, 2.36364252615315e-125)

(-67.5442420522, 2.36364252615315e-125)

(54.9778714378, 2.36364252615315e-125)

(26.7035375555, 2.36364252615315e-125)

(-86.3937979737, 2.36364252615315e-125)

(-20.4203522483, 2.36364252615315e-125)

(-306.305283725, 2.36364252615315e-125)

(-7.85398163397, 2.36364252615315e-125)

(-76.9690200129, 2.36364252615315e-125)

(89.5353906273, 2.36364252615315e-125)

(-10.9955742876, 2.36364252615315e-125)

(-1.57079632679, 2.36364252615315e-125)

(-23.5619449019, 2.36364252615315e-125)

(73.8274273594, 2.36364252615315e-125)

(70.6858347058, 2.36364252615315e-125)

(0, zoo)

(42.4115008235, 2.36364252615315e-125)

(67.5442420522, 2.36364252615315e-125)

(58.1194640914, 2.36364252615315e-125)

(-29.8451302091, 2.36364252615315e-125)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x69=−2279.22547018x_{69} = -2279.22547018
x69=−54.9778714378x_{69} = -54.9778714378
x69=39.2699081699x_{69} = 39.2699081699
x69=51.8362787842x_{69} = 51.8362787842
x69=86.3937979737x_{69} = 86.3937979737
x69=−17.2787595947x_{69} = -17.2787595947
x69=237.190245346x_{69} = 237.190245346
x69=45.5530934771x_{69} = 45.5530934771
x69=61.261056745x_{69} = 61.261056745
x69=83.2522053201x_{69} = 83.2522053201
x69=−70.6858347058x_{69} = -70.6858347058
x69=−89.5353906273x_{69} = -89.5353906273
x69=−183.783170235x_{69} = -183.783170235
x69=92.6769832809x_{69} = 92.6769832809
x69=76.9690200129x_{69} = 76.9690200129
x69=−32.9867228627x_{69} = -32.9867228627
x69=−4.71238898038x_{69} = -4.71238898038
x69=−48.6946861306x_{69} = -48.6946861306
x69=−80.1106126665x_{69} = -80.1106126665
x69=−42.4115008235x_{69} = -42.4115008235
x69=−58.1194640914x_{69} = -58.1194640914
x69=1.57079632679x_{69} = 1.57079632679
x69=−95.8185759345x_{69} = -95.8185759345
x69=17.2787595947x_{69} = 17.2787595947
x69=95.8185759345x_{69} = 95.8185759345
x69=−36.1283155163x_{69} = -36.1283155163
x69=−64.4026493986x_{69} = -64.4026493986
x69=36.1283155163x_{69} = 36.1283155163
x69=−61.261056745x_{69} = -61.261056745
x69=−92.6769832809x_{69} = -92.6769832809
x69=32.9867228627x_{69} = 32.9867228627
x69=−14.1371669412x_{69} = -14.1371669412
x69=80.1106126665x_{69} = 80.1106126665
x69=4.71238898038x_{69} = 4.71238898038
x69=10.9955742876x_{69} = 10.9955742876
x69=7.85398163397x_{69} = 7.85398163397
x69=23.5619449019x_{69} = 23.5619449019
x69=−39.2699081699x_{69} = -39.2699081699
x69=64.4026493986x_{69} = 64.4026493986
x69=−73.8274273594x_{69} = -73.8274273594
x69=20.4203522483x_{69} = 20.4203522483
x69=−26.7035375555x_{69} = -26.7035375555
x69=−83.2522053201x_{69} = -83.2522053201
x69=−98.9601685881x_{69} = -98.9601685881
x69=48.6946861306x_{69} = 48.6946861306
x69=29.8451302091x_{69} = 29.8451302091
x69=14.1371669412x_{69} = 14.1371669412
x69=98.9601685881x_{69} = 98.9601685881
x69=−45.5530934771x_{69} = -45.5530934771
x69=−51.8362787842x_{69} = -51.8362787842
x69=−67.5442420522x_{69} = -67.5442420522
x69=54.9778714378x_{69} = 54.9778714378
x69=26.7035375555x_{69} = 26.7035375555
x69=−86.3937979737x_{69} = -86.3937979737
x69=−20.4203522483x_{69} = -20.4203522483
x69=−306.305283725x_{69} = -306.305283725
x69=−7.85398163397x_{69} = -7.85398163397
x69=−76.9690200129x_{69} = -76.9690200129
x69=89.5353906273x_{69} = 89.5353906273
x69=−10.9955742876x_{69} = -10.9955742876
x69=−1.57079632679x_{69} = -1.57079632679
x69=−23.5619449019x_{69} = -23.5619449019
x69=73.8274273594x_{69} = 73.8274273594
x69=70.6858347058x_{69} = 70.6858347058
x69=42.4115008235x_{69} = 42.4115008235
x69=67.5442420522x_{69} = 67.5442420522
x69=58.1194640914x_{69} = 58.1194640914
x69=−29.8451302091x_{69} = -29.8451302091
Убывает на промежутках
(-oo, -2279.22547018]

Возрастает на промежутках
[237.190245346, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(∣sin⁡(x)∣)=log⁡(∣⟨−1,1⟩∣)\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=log⁡(∣⟨−1,1⟩∣)y = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}
lim⁡x→∞log⁡(∣sin⁡(x)∣)=log⁡(∣⟨−1,1⟩∣)\lim_{x \to \infty} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=log⁡(∣⟨−1,1⟩∣)y = \log{\left (\left|{\langle -1, 1\rangle}\right| \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(Abs(sin(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xlog⁡(∣sin⁡(x)∣))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1xlog⁡(∣sin⁡(x)∣))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log⁡(∣sin⁡(x)∣)=log⁡(∣sin⁡(x)∣)\log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}
- Да
log⁡(∣sin⁡(x)∣)=−log⁡(∣sin⁡(x)∣)\log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )} = - \log{\left (\left|{\sin{\left (x \right )}}\right| \right )}
- Нет
значит, функция
является
чётной