График функции y = log(acos(2*x))

Вы ввели

f(x) = log(acos(2*x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2} \cos{\left (1 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.270151152934$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(acos(2*x)).
$$\log{\left (\operatorname{acos}{\left (0 \cdot 2 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \log{\left (\frac{\pi}{2} \right )}$$
Точка:

(0, log(pi/2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{2}{\sqrt{- 4 x^{2} + 1} \operatorname{acos}{\left (2 x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{\operatorname{acos}{\left (2 x \right )}} \left(- \frac{8 x}{\left(- 4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\left(4 x^{2} - 1\right) \operatorname{acos}{\left (2 x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -0.5$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Выпуклая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(acos(2*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (\operatorname{acos}{\left (- 2 x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\operatorname{acos}{\left (2 x \right )} \right )} = - \log{\left (\operatorname{acos}{\left (- 2 x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной