График функции y = log(9-x)^2

Вы ввели

          2       
f(x) = log (9 - x)

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(9 - x \right)}^{2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(9 - x \right)}^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 8$$
Численное решение
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 7.99999975703129$$
$$x_{3} = 7.99999980158985$$
$$x_{4} = 7.99999998323311$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(9 - x)^2.
$$\log{\left(9 - 0 \right)}^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(9 \right)}^{2}$$
Точка:

(0, log(9)^2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{2 \log{\left(9 - x \right)}}{9 - x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 8$$
Зн. экстремумы в точках:

(8, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 8$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[8, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 8\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \log{\left(9 - x \right)}\right)}{\left(x - 9\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 9 - e$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[9 - e, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 9 - e\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(9 - x \right)}^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(9 - x \right)}^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(9 - x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(9 - x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(9 - x \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(9 - x \right)}^{2} = \log{\left(x + 9 \right)}^{2}$$
- Нет
$$\log{\left(9 - x \right)}^{2} = - \log{\left(x + 9 \right)}^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График