График функции
0 5 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 10 0 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение:log ( 2 − cos ( x ) ) = 0 \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0 log ( 2 − cos ( x ) ) = 0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 π x_{2} = 2 \pi x 2 = 2 π Численное решение x 1 = − 43.9822971745782 x_{1} = -43.9822971745782 x 1 = − 43.9822971745782 x 2 = − 31.41592659804 x_{2} = -31.41592659804 x 2 = − 31.41592659804 x 3 = − 43.9822969475826 x_{3} = -43.9822969475826 x 3 = − 43.9822969475826 x 4 = 50.2654824463472 x_{4} = 50.2654824463472 x 4 = 50.2654824463472 x 5 = 87.9645943357613 x_{5} = 87.9645943357613 x 5 = 87.9645943357613 x 6 = − 69.1150380803451 x_{6} = -69.1150380803451 x 6 = − 69.1150380803451 x 7 = 62.8318521656398 x_{7} = 62.8318521656398 x 7 = 62.8318521656398 x 8 = − 25.1327414875349 x_{8} = -25.1327414875349 x 8 = − 25.1327414875349 x 9 = − 69.1150386418008 x_{9} = -69.1150386418008 x 9 = − 69.1150386418008 x 10 = 50.2654823218943 x_{10} = 50.2654823218943 x 10 = 50.2654823218943 x 11 = 6.28318528425031 x_{11} = 6.28318528425031 x 11 = 6.28318528425031 x 12 = − 6.28318548766167 x_{12} = -6.28318548766167 x 12 = − 6.28318548766167 x 13 = − 81.6814083101974 x_{13} = -81.6814083101974 x 13 = − 81.6814083101974 x 14 = − 75.3982234665557 x_{14} = -75.3982234665557 x 14 = − 75.3982234665557 x 15 = 43.9822963773283 x_{15} = 43.9822963773283 x 15 = 43.9822963773283 x 16 = 6.28318607700903 x_{16} = 6.28318607700903 x 16 = 6.28318607700903 x 17 = − 81.681409038012 x_{17} = -81.681409038012 x 17 = − 81.681409038012 x 18 = − 18.8495556173862 x_{18} = -18.8495556173862 x 18 = − 18.8495556173862 x 19 = 18.849556215364 x_{19} = 18.849556215364 x 19 = 18.849556215364 x 20 = 6.28318513123834 x_{20} = 6.28318513123834 x 20 = 6.28318513123834 x 21 = 81.6814091775934 x_{21} = 81.6814091775934 x 21 = 81.6814091775934 x 22 = 471.238897997772 x_{22} = 471.238897997772 x 22 = 471.238897997772 x 23 = − 18.8495562217774 x_{23} = -18.8495562217774 x 23 = − 18.8495562217774 x 24 = 100.530964766032 x_{24} = 100.530964766032 x 24 = 100.530964766032 x 25 = − 106.814150962879 x_{25} = -106.814150962879 x 25 = − 106.814150962879 x 26 = 37.6991116514814 x_{26} = 37.6991116514814 x 26 = 37.6991116514814 x 27 = 75.3982239550318 x_{27} = 75.3982239550318 x 27 = 75.3982239550318 x 28 = 43.9822971694279 x_{28} = 43.9822971694279 x 28 = 43.9822971694279 x 29 = − 56.5486675079998 x_{29} = -56.5486675079998 x 29 = − 56.5486675079998 x 30 = − 50.2654826259573 x_{30} = -50.2654826259573 x 30 = − 50.2654826259573 x 31 = − 94.2477794523601 x_{31} = -94.2477794523601 x 31 = − 94.2477794523601 x 32 = − 12.5663709007493 x_{32} = -12.5663709007493 x 32 = − 12.5663709007493 x 33 = − 62.8318527689446 x_{33} = -62.8318527689446 x 33 = − 62.8318527689446 x 34 = 94.2477794373133 x_{34} = 94.2477794373133 x 34 = 94.2477794373133 x 35 = − 43.9822978837464 x_{35} = -43.9822978837464 x 35 = − 43.9822978837464 x 36 = 69.1150380811757 x_{36} = 69.1150380811757 x 36 = 69.1150380811757 x 37 = 12.5663702384678 x_{37} = 12.5663702384678 x 37 = 12.5663702384678 x 38 = − 6.28318513695273 x_{38} = -6.28318513695273 x 38 = − 6.28318513695273 x 39 = 81.6814087914149 x_{39} = 81.6814087914149 x 39 = 81.6814087914149 x 40 = − 62.8318533729422 x_{40} = -62.8318533729422 x 40 = − 62.8318533729422 x 41 = 0 x_{41} = 0 x 41 = 0 x 42 = 6.2831854736161 x_{42} = 6.2831854736161 x 42 = 6.2831854736161 x 43 = 87.9645935301424 x_{43} = 87.9645935301424 x 43 = 87.9645935301424 x 44 = 18981.5028117004 x_{44} = 18981.5028117004 x 44 = 18981.5028117004 x 45 = − 12032.2998626893 x_{45} = -12032.2998626893 x 45 = − 12032.2998626893 x 46 = − 37.6991110986159 x_{46} = -37.6991110986159 x 46 = − 37.6991110986159 x 47 = 56.5486676084168 x_{47} = 56.5486676084168 x 47 = 56.5486676084168 x 48 = − 25.1327409323502 x_{48} = -25.1327409323502 x 48 = − 25.1327409323502 x 49 = − 50.2654822945446 x_{49} = -50.2654822945446 x 49 = − 50.2654822945446 x 50 = 87.9645943994199 x_{50} = 87.9645943994199 x 50 = 87.9645943994199 x 51 = 94.2477803647286 x_{51} = 94.2477803647286 x 51 = 94.2477803647286 x 52 = − 31.4159263253384 x_{52} = -31.4159263253384 x 52 = − 31.4159263253384 x 53 = 62.8318533627858 x_{53} = 62.8318533627858 x 53 = 62.8318533627858 x 54 = − 56.548668047785 x_{54} = -56.548668047785 x 54 = − 56.548668047785 x 55 = 37.6991120204243 x_{55} = 37.6991120204243 x 55 = 37.6991120204243 x 56 = 12.5663704509757 x_{56} = 12.5663704509757 x 56 = 12.5663704509757 x 57 = 12.5663708151926 x_{57} = 12.5663708151926 x 57 = 12.5663708151926 x 58 = − 94.2477797633436 x_{58} = -94.2477797633436 x 58 = − 94.2477797633436 x 59 = − 12.5663703534729 x_{59} = -12.5663703534729 x 59 = − 12.5663703534729 x 60 = − 87.9645949997818 x_{60} = -87.9645949997818 x 60 = − 87.9645949997818 x 61 = 31.415926800871 x_{61} = 31.415926800871 x 61 = 31.415926800871 x 62 = 25.1327409295962 x_{62} = 25.1327409295962 x 62 = 25.1327409295962 x 63 = − 75.3982238633872 x_{63} = -75.3982238633872 x 63 = − 75.3982238633872 x 64 = − 81.681409036985 x_{64} = -81.681409036985 x 64 = − 81.681409036985 x 65 = 62.8318528215448 x_{65} = 62.8318528215448 x 65 = 62.8318528215448 x 66 = 50.2654832291066 x_{66} = 50.2654832291066 x 66 = 50.2654832291066 x 67 = − 100.53096466271 x_{67} = -100.53096466271 x 67 = − 100.53096466271 x 68 = − 87.9645940588686 x_{68} = -87.9645940588686 x 68 = − 87.9645940588686 x 69 = − 37.6991119153289 x_{69} = -37.6991119153289 x 69 = − 37.6991119153289 x 70 = 69.1150386851472 x_{70} = 69.1150386851472 x 70 = 69.1150386851472 x 71 = 94.2477796093525 x_{71} = 94.2477796093525 x 71 = 94.2477796093525 x 72 = 75.3982233942965 x_{72} = 75.3982233942965 x 72 = 75.3982233942965 x 73 = − 87.9645943587701 x_{73} = -87.9645943587701 x 73 = − 87.9645943587701 x 74 = 43.9822972815896 x_{74} = 43.9822972815896 x 74 = 43.9822972815896 x 75 = − 31.4159267062921 x_{75} = -31.4159267062921 x 75 = − 31.4159267062921 x 76 = − 37.6991118771541 x_{76} = -37.6991118771541 x 76 = − 37.6991118771541 x 77 = 31.4159262466159 x_{77} = 31.4159262466159 x 77 = 31.4159262466159 x 78 = 25.1327415339784 x_{78} = 25.1327415339784 x 78 = 25.1327415339784 x 79 = 6.28318520432519 x_{79} = 6.28318520432519 x 79 = 6.28318520432519 x 80 = 18.849555666914 x_{80} = 18.849555666914 x 80 = 18.849555666914 x 81 = 56.5486679549878 x_{81} = 56.5486679549878 x 81 = 56.5486679549878
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в log(2 - cos(x)).log ( 2 − cos ( 0 ) ) \log{\left(2 - \cos{\left(0 \right)} \right)} log ( 2 − cos ( 0 ) ) Результат:f ( 0 ) = 0 f{\left(0 \right)} = 0 f ( 0 ) = 0 Точка:(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d x f ( x ) = 0 \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0 d x d f ( x ) = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d d x f ( x ) = \frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = d x d f ( x ) = первая производная sin ( x ) 2 − cos ( x ) = 0 \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 - \cos{\left(x \right)}} = 0 2 − cos ( x ) sin ( x ) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-нияx 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 2 = π x_{2} = \pi x 2 = π Зн. экстремумы в точках:(0, 0) (pi, log(3)) Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках:x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 Максимумы функции в точках:x 1 = π x_{1} = \pi x 1 = π Убывает на промежутках[ 0 , π ] \left[0, \pi\right] [ 0 , π ] Возрастает на промежутках( − ∞ , 0 ] ∪ [ π , ∞ ) \left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right) ( − ∞ , 0 ] ∪ [ π , ∞ )
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d x 2 f ( x ) = 0 \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0 d x 2 d 2 f ( x ) = 0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: d 2 d x 2 f ( x ) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = d x 2 d 2 f ( x ) = вторая производная − cos ( x ) + sin 2 ( x ) cos ( x ) − 2 cos ( x ) − 2 = 0 - \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 2}}{\cos{\left(x \right)} - 2} = 0 − cos ( x ) − 2 cos ( x ) + c o s ( x ) − 2 s i n 2 ( x ) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-нияx 1 = − π 3 x_{1} = - \frac{\pi}{3} x 1 = − 3 π x 2 = π 3 x_{2} = \frac{\pi}{3} x 2 = 3 π Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках[ − π 3 , π 3 ] \left[- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right] [ − 3 π , 3 π ] Выпуклая на промежутках( − ∞ , − π 3 ] ∪ [ π 3 , ∞ ) \left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right) ( − ∞ , − 3 π ] ∪ [ 3 π , ∞ )
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oolim x → − ∞ log ( 2 − cos ( x ) ) = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ \lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle x → − ∞ lim log ( 2 − cos ( x ) ) = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:y = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ y = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle y = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ lim x → ∞ log ( 2 − cos ( x ) ) = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ \lim_{x \to \infty} \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle x → ∞ lim log ( 2 − cos ( x ) ) = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:y = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩ y = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle y = ⟨ 0 , log ( 3 ) ⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2 - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oolim x → − ∞ ( log ( 2 − cos ( x ) ) x ) = 0 \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0 x → − ∞ lim ( x log ( 2 − cos ( x ) ) ) = 0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справаlim x → ∞ ( log ( 2 − cos ( x ) ) x ) = 0 \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0 x → ∞ lim ( x log ( 2 − cos ( x ) ) ) = 0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем:log ( 2 − cos ( x ) ) = log ( 2 − cos ( x ) ) \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} log ( 2 − cos ( x ) ) = log ( 2 − cos ( x ) ) - Даlog ( 2 − cos ( x ) ) = − log ( 2 − cos ( x ) ) \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} log ( 2 − cos ( x ) ) = − log ( 2 − cos ( x ) ) - Нет значит, функция является чётной