График функции y = log(2-cos(x))

Вы ввели

f(x) = log(2 - cos(x))

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -43.9822971745782$$
$$x_{2} = -31.41592659804$$
$$x_{3} = -43.9822969475826$$
$$x_{4} = 50.2654824463472$$
$$x_{5} = 87.9645943357613$$
$$x_{6} = -69.1150380803451$$
$$x_{7} = 62.8318521656398$$
$$x_{8} = -25.1327414875349$$
$$x_{9} = -69.1150386418008$$
$$x_{10} = 50.2654823218943$$
$$x_{11} = 6.28318528425031$$
$$x_{12} = -6.28318548766167$$
$$x_{13} = -81.6814083101974$$
$$x_{14} = -75.3982234665557$$
$$x_{15} = 43.9822963773283$$
$$x_{16} = 6.28318607700903$$
$$x_{17} = -81.681409038012$$
$$x_{18} = -18.8495556173862$$
$$x_{19} = 18.849556215364$$
$$x_{20} = 6.28318513123834$$
$$x_{21} = 81.6814091775934$$
$$x_{22} = 471.238897997772$$
$$x_{23} = -18.8495562217774$$
$$x_{24} = 100.530964766032$$
$$x_{25} = -106.814150962879$$
$$x_{26} = 37.6991116514814$$
$$x_{27} = 75.3982239550318$$
$$x_{28} = 43.9822971694279$$
$$x_{29} = -56.5486675079998$$
$$x_{30} = -50.2654826259573$$
$$x_{31} = -94.2477794523601$$
$$x_{32} = -12.5663709007493$$
$$x_{33} = -62.8318527689446$$
$$x_{34} = 94.2477794373133$$
$$x_{35} = -43.9822978837464$$
$$x_{36} = 69.1150380811757$$
$$x_{37} = 12.5663702384678$$
$$x_{38} = -6.28318513695273$$
$$x_{39} = 81.6814087914149$$
$$x_{40} = -62.8318533729422$$
$$x_{41} = 0$$
$$x_{42} = 6.2831854736161$$
$$x_{43} = 87.9645935301424$$
$$x_{44} = 18981.5028117004$$
$$x_{45} = -12032.2998626893$$
$$x_{46} = -37.6991110986159$$
$$x_{47} = 56.5486676084168$$
$$x_{48} = -25.1327409323502$$
$$x_{49} = -50.2654822945446$$
$$x_{50} = 87.9645943994199$$
$$x_{51} = 94.2477803647286$$
$$x_{52} = -31.4159263253384$$
$$x_{53} = 62.8318533627858$$
$$x_{54} = -56.548668047785$$
$$x_{55} = 37.6991120204243$$
$$x_{56} = 12.5663704509757$$
$$x_{57} = 12.5663708151926$$
$$x_{58} = -94.2477797633436$$
$$x_{59} = -12.5663703534729$$
$$x_{60} = -87.9645949997818$$
$$x_{61} = 31.415926800871$$
$$x_{62} = 25.1327409295962$$
$$x_{63} = -75.3982238633872$$
$$x_{64} = -81.681409036985$$
$$x_{65} = 62.8318528215448$$
$$x_{66} = 50.2654832291066$$
$$x_{67} = -100.53096466271$$
$$x_{68} = -87.9645940588686$$
$$x_{69} = -37.6991119153289$$
$$x_{70} = 69.1150386851472$$
$$x_{71} = 94.2477796093525$$
$$x_{72} = 75.3982233942965$$
$$x_{73} = -87.9645943587701$$
$$x_{74} = 43.9822972815896$$
$$x_{75} = -31.4159267062921$$
$$x_{76} = -37.6991118771541$$
$$x_{77} = 31.4159262466159$$
$$x_{78} = 25.1327415339784$$
$$x_{79} = 6.28318520432519$$
$$x_{80} = 18.849555666914$$
$$x_{81} = 56.5486679549878$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(2 - cos(x)).
$$\log{\left(2 - \cos{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(pi, log(3))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 2}}{\cos{\left(x \right)} - 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2 - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Да
$$\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График