График функции y = log(2-cos(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = log(2 - cos(x))
f(x)=log(2cos(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}
График функции
05-40-35-30-25-20-15-10-51002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(2cos(x))=0\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Численное решение
x1=43.9822971745782x_{1} = -43.9822971745782
x2=31.41592659804x_{2} = -31.41592659804
x3=43.9822969475826x_{3} = -43.9822969475826
x4=50.2654824463472x_{4} = 50.2654824463472
x5=87.9645943357613x_{5} = 87.9645943357613
x6=69.1150380803451x_{6} = -69.1150380803451
x7=62.8318521656398x_{7} = 62.8318521656398
x8=25.1327414875349x_{8} = -25.1327414875349
x9=69.1150386418008x_{9} = -69.1150386418008
x10=50.2654823218943x_{10} = 50.2654823218943
x11=6.28318528425031x_{11} = 6.28318528425031
x12=6.28318548766167x_{12} = -6.28318548766167
x13=81.6814083101974x_{13} = -81.6814083101974
x14=75.3982234665557x_{14} = -75.3982234665557
x15=43.9822963773283x_{15} = 43.9822963773283
x16=6.28318607700903x_{16} = 6.28318607700903
x17=81.681409038012x_{17} = -81.681409038012
x18=18.8495556173862x_{18} = -18.8495556173862
x19=18.849556215364x_{19} = 18.849556215364
x20=6.28318513123834x_{20} = 6.28318513123834
x21=81.6814091775934x_{21} = 81.6814091775934
x22=471.238897997772x_{22} = 471.238897997772
x23=18.8495562217774x_{23} = -18.8495562217774
x24=100.530964766032x_{24} = 100.530964766032
x25=106.814150962879x_{25} = -106.814150962879
x26=37.6991116514814x_{26} = 37.6991116514814
x27=75.3982239550318x_{27} = 75.3982239550318
x28=43.9822971694279x_{28} = 43.9822971694279
x29=56.5486675079998x_{29} = -56.5486675079998
x30=50.2654826259573x_{30} = -50.2654826259573
x31=94.2477794523601x_{31} = -94.2477794523601
x32=12.5663709007493x_{32} = -12.5663709007493
x33=62.8318527689446x_{33} = -62.8318527689446
x34=94.2477794373133x_{34} = 94.2477794373133
x35=43.9822978837464x_{35} = -43.9822978837464
x36=69.1150380811757x_{36} = 69.1150380811757
x37=12.5663702384678x_{37} = 12.5663702384678
x38=6.28318513695273x_{38} = -6.28318513695273
x39=81.6814087914149x_{39} = 81.6814087914149
x40=62.8318533729422x_{40} = -62.8318533729422
x41=0x_{41} = 0
x42=6.2831854736161x_{42} = 6.2831854736161
x43=87.9645935301424x_{43} = 87.9645935301424
x44=18981.5028117004x_{44} = 18981.5028117004
x45=12032.2998626893x_{45} = -12032.2998626893
x46=37.6991110986159x_{46} = -37.6991110986159
x47=56.5486676084168x_{47} = 56.5486676084168
x48=25.1327409323502x_{48} = -25.1327409323502
x49=50.2654822945446x_{49} = -50.2654822945446
x50=87.9645943994199x_{50} = 87.9645943994199
x51=94.2477803647286x_{51} = 94.2477803647286
x52=31.4159263253384x_{52} = -31.4159263253384
x53=62.8318533627858x_{53} = 62.8318533627858
x54=56.548668047785x_{54} = -56.548668047785
x55=37.6991120204243x_{55} = 37.6991120204243
x56=12.5663704509757x_{56} = 12.5663704509757
x57=12.5663708151926x_{57} = 12.5663708151926
x58=94.2477797633436x_{58} = -94.2477797633436
x59=12.5663703534729x_{59} = -12.5663703534729
x60=87.9645949997818x_{60} = -87.9645949997818
x61=31.415926800871x_{61} = 31.415926800871
x62=25.1327409295962x_{62} = 25.1327409295962
x63=75.3982238633872x_{63} = -75.3982238633872
x64=81.681409036985x_{64} = -81.681409036985
x65=62.8318528215448x_{65} = 62.8318528215448
x66=50.2654832291066x_{66} = 50.2654832291066
x67=100.53096466271x_{67} = -100.53096466271
x68=87.9645940588686x_{68} = -87.9645940588686
x69=37.6991119153289x_{69} = -37.6991119153289
x70=69.1150386851472x_{70} = 69.1150386851472
x71=94.2477796093525x_{71} = 94.2477796093525
x72=75.3982233942965x_{72} = 75.3982233942965
x73=87.9645943587701x_{73} = -87.9645943587701
x74=43.9822972815896x_{74} = 43.9822972815896
x75=31.4159267062921x_{75} = -31.4159267062921
x76=37.6991118771541x_{76} = -37.6991118771541
x77=31.4159262466159x_{77} = 31.4159262466159
x78=25.1327415339784x_{78} = 25.1327415339784
x79=6.28318520432519x_{79} = 6.28318520432519
x80=18.849555666914x_{80} = 18.849555666914
x81=56.5486679549878x_{81} = 56.5486679549878
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(2 - cos(x)).
log(2cos(0))\log{\left(2 - \cos{\left(0 \right)} \right)}
Результат:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
sin(x)2cos(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{2 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(pi, log(3))


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Максимумы функции в точках:
x1=πx_{1} = \pi
Убывает на промежутках
[0,π]\left[0, \pi\right]
Возрастает на промежутках
(,0][π,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
cos(x)+sin2(x)cos(x)2cos(x)2=0- \frac{\cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 2}}{\cos{\left(x \right)} - 2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π3,π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]
Выпуклая на промежутках
(,π3][π3,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxlog(2cos(x))=0,log(3)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,log(3)y = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle
limxlog(2cos(x))=0,log(3)\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,log(3)y = \left\langle 0, \log{\left(3 \right)}\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2 - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(log(2cos(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(log(2cos(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(2cos(x))=log(2cos(x))\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}
- Да
log(2cos(x))=log(2cos(x))\log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(2 - \cos{\left(x \right)} \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = log(2-cos(x)) /media/krcore-image-pods/hash/xy/6/f7/6d079ca7e59b251cd45a6429f82ea.png