График функции y = log(2,|x|)

Вы ввели

        log(2) 
f(x) = --------
       log(|x|)

$$f{\left (x \right )} = \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(2)/log(|x|).
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{0}\right| \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\log{\left (2 \right )} \operatorname{sign}{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\left|{x}\right| \right )} \left|{x}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (\left|{x}\right| \right )}} \left(- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{e^{2}}$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (\left|{x}\right| \right )}} \left(- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right)\right) = 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (2 \right )}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (\left|{x}\right| \right )}} \left(- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right)\right) = 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (2 \right )}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (\left|{x}\right| \right )}} \left(- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right)\right) = 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (2 \right )}$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log^{2}{\left (\left|{x}\right| \right )}} \left(- \frac{2 \delta\left(x\right)}{\left|{x}\right|} + \frac{1}{x^{2}} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )} + \frac{2 \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{x^{2} \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right)\right) = 1.51455346999346 \cdot 10^{374} \log{\left (2 \right )}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-exp(-2), exp(-2)]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -exp(-2)] U [exp(-2), oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2)/log(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (2 \right )}}{x \log{\left (\left|{x}\right| \right )}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}} = \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}}$$
- Да
$$\frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}} = - \frac{\log{\left (2 \right )}}{\log{\left (\left|{x}\right| \right )}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной