График функции y = log(2*cos(x))

Вы ввели

f(x) = log(2*cos(x))

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -74.3510261349584$$
$$x_{2} = -86.9173967493176$$
$$x_{3} = 74.3510261349584$$
$$x_{4} = 82.7286065445312$$
$$x_{5} = -55.5014702134197$$
$$x_{6} = 38.7463093942741$$
$$x_{7} = 42.9350995990605$$
$$x_{8} = -99.4837673636768$$
$$x_{9} = 57.5958653158129$$
$$x_{10} = 26.1799387799149$$
$$x_{11} = 30.3687289847013$$
$$x_{12} = 89.0117918517108$$
$$x_{13} = -76.4454212373516$$
$$x_{14} = 68.0678408277789$$
$$x_{15} = -30.3687289847013$$
$$x_{16} = 13.6135681655558$$
$$x_{17} = -51.3126800086333$$
$$x_{18} = 45.0294947014537$$
$$x_{19} = -101.57816246607$$
$$x_{20} = 99.4837673636768$$
$$x_{21} = -80.634211442138$$
$$x_{22} = 80.634211442138$$
$$x_{23} = 49.2182849062401$$
$$x_{24} = -26.1799387799149$$
$$x_{25} = 93.2005820564972$$
$$x_{26} = 101.57816246607$$
$$x_{27} = -49.2182849062401$$
$$x_{28} = 24.0855436775217$$
$$x_{29} = 55.5014702134197$$
$$x_{30} = 63.8790506229925$$
$$x_{31} = -7.33038285837618$$
$$x_{32} = 36.6519142918809$$
$$x_{33} = -63.8790506229925$$
$$x_{34} = 86.9173967493176$$
$$x_{35} = -24.0855436775217$$
$$x_{36} = -68.0678408277789$$
$$x_{37} = -13.6135681655558$$
$$x_{38} = 19.8967534727354$$
$$x_{39} = -82.7286065445312$$
$$x_{40} = -19.8967534727354$$
$$x_{41} = 61.7846555205993$$
$$x_{42} = -61.7846555205993$$
$$x_{43} = 17.8023583703422$$
$$x_{44} = 5.23598775598299$$
$$x_{45} = 11.5191730631626$$
$$x_{46} = -95.2949771588904$$
$$x_{47} = 70.162235930172$$
$$x_{48} = -233.525053916841$$
$$x_{49} = 76.4454212373516$$
$$x_{50} = -70.162235930172$$
$$x_{51} = -57.5958653158129$$
$$x_{52} = -11.5191730631626$$
$$x_{53} = 32.4631240870945$$
$$x_{54} = -5.23598775598299$$
$$x_{55} = -17.8023583703422$$
$$x_{56} = -32.4631240870945$$
$$x_{57} = -93.2005820564972$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(2*cos(x)).
$$\log{\left(2 \cos{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)}$$
Точка:

(0, log(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, log(2))

(pi, pi*I + log(2))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(2*cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Да
$$\log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(2 \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График