График функции y = log(cos(3*x))

Вы ввели

f(x) = log(cos(3*x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -43.9822971743$$
$$x_{2} = -81.6814090397$$
$$x_{3} = 4.18879026177$$
$$x_{4} = -85.8701990475$$
$$x_{5} = -46.0766921812$$
$$x_{6} = 94.2477796094$$
$$x_{7} = -50.2654821568$$
$$x_{8} = -2.09439501659$$
$$x_{9} = -37.699111878$$
$$x_{10} = 50.2654824463$$
$$x_{11} = 96.3421746485$$
$$x_{12} = 41.8879021482$$
$$x_{13} = 43.9822971697$$
$$x_{14} = 90.0589892625$$
$$x_{15} = -35.604716838$$
$$x_{16} = 10.4719753524$$
$$x_{17} = 48.1710874383$$
$$x_{18} = -33.5103218162$$
$$x_{19} = 92.1533846291$$
$$x_{20} = 87.9645943369$$
$$x_{21} = -83.7758040752$$
$$x_{22} = 98.4365696841$$
$$x_{23} = 0$$
$$x_{24} = -90.0589893461$$
$$x_{25} = 83.7758043119$$
$$x_{26} = -92.1533843692$$
$$x_{27} = 39.7935071378$$
$$x_{28} = 85.8701993133$$
$$x_{29} = -77.4926189881$$
$$x_{30} = -39.7935069084$$
$$x_{31} = 8.37758032454$$
$$x_{32} = -4.18879003312$$
$$x_{33} = -87.9645943576$$
$$x_{34} = -48.1710872019$$
$$x_{35} = -79.587014001$$
$$x_{36} = 54.454272519$$
$$x_{37} = -94.2477793516$$
$$x_{38} = 52.3598774866$$
$$x_{39} = 6.28318528392$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(cos(3*x)).
$$\log{\left (\cos{\left (0 \cdot 3 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{3 \sin{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (3 x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 pi       
(--, pi*I)
 3        

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 9 \left(\frac{\sin^{2}{\left (3 x \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(cos(3*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )} = \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}$$
- Да
$$\log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )} = - \log{\left (\cos{\left (3 x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной