График функции y = log(cos(x))

Вы ввели

f(x) = log(cos(x))

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 37.6991114441887$$
$$x_{2} = -81.6814089617871$$
$$x_{3} = -37.6991118773736$$
$$x_{4} = 18.8495570029843$$
$$x_{5} = -31.4159262776781$$
$$x_{6} = 69.1150390932802$$
$$x_{7} = 25.1327406563971$$
$$x_{8} = -62.8318536803612$$
$$x_{9} = -31.4159267264704$$
$$x_{10} = -25.1327403562086$$
$$x_{11} = -12.5663716213936$$
$$x_{12} = 50.2654824463311$$
$$x_{13} = 75.3982226911418$$
$$x_{14} = -25.1327415878584$$
$$x_{15} = -100.53096457631$$
$$x_{16} = -18.8495557286473$$
$$x_{17} = -62.8318524940769$$
$$x_{18} = 18.8495567580196$$
$$x_{19} = 94.2477796068599$$
$$x_{20} = 56.5486675932357$$
$$x_{21} = 6.28318528416623$$
$$x_{22} = -56.5486674143785$$
$$x_{23} = 31.4159255304025$$
$$x_{24} = 43.9822971695019$$
$$x_{25} = -69.1150374752626$$
$$x_{26} = -6.28318511692891$$
$$x_{27} = 37.6991120433529$$
$$x_{28} = 100.530964753022$$
$$x_{29} = -18.8495565116576$$
$$x_{30} = 25.1327418930934$$
$$x_{31} = 25.1327418431203$$
$$x_{32} = -56.5486687640637$$
$$x_{33} = -12.5663716386669$$
$$x_{34} = 6.28318532165763$$
$$x_{35} = 94.2477796093522$$
$$x_{36} = -87.9645943355219$$
$$x_{37} = 43.982297089421$$
$$x_{38} = -12.5663702522378$$
$$x_{39} = -69.1150387500801$$
$$x_{40} = -43.9822971932261$$
$$x_{41} = 69.1150390127643$$
$$x_{42} = -6.28318566745615$$
$$x_{43} = -75.3982238864105$$
$$x_{44} = -50.2654822771894$$
$$x_{45} = -62.8318534517187$$
$$x_{46} = -56.5486688343165$$
$$x_{47} = 69.1150378238503$$
$$x_{48} = -18.8495562408585$$
$$x_{49} = -94.2477794374461$$
$$x_{50} = 75.3982227418079$$
$$x_{51} = 56.5486679766099$$
$$x_{52} = -87.9645943584596$$
$$x_{53} = 31.4159269101267$$
$$x_{54} = 25.1327409700176$$
$$x_{55} = 31.4159255531763$$
$$x_{56} = -62.8318528736237$$
$$x_{57} = 81.681409203672$$
$$x_{58} = -37.6991118203008$$
$$x_{59} = -94.2477799001796$$
$$x_{60} = 12.5663704334084$$
$$x_{61} = 12.5663708485373$$
$$x_{62} = 62.8318542034359$$
$$x_{63} = -81.6814090384469$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = 75.39822407273$$
$$x_{66} = 18.8495555741382$$
$$x_{67} = 62.831852735923$$
$$x_{68} = 69.1150381807919$$
$$x_{69} = -100.530965897751$$
$$x_{70} = 81.6814085526449$$
$$x_{71} = -43.9822971744998$$
$$x_{72} = 87.9645942296464$$
$$x_{73} = 50.2654824640562$$
$$x_{74} = -18.8495553258088$$
$$x_{75} = -75.3982234018825$$
$$x_{76} = -25.1327401930409$$
$$x_{77} = 62.8318538684035$$
$$x_{78} = 100.530965106382$$
$$x_{79} = -50.2654827822791$$
$$x_{80} = -69.1150373853363$$
$$x_{81} = 87.9645943360512$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(cos(x)).
$$\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

(pi, pi*I)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Да
$$\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График