График функции y = log(cos(x))-cos(x)

Вы ввели

f(x) = log(cos(x)) - cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(cos(x)) - cos(x).
$$- \cos{\left (0 \right )} + \log{\left (\cos{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\sin{\left (x \right )} - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \cos{\left (x \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Выпуклая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle + \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(cos(x)) - cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )}$$
- Да
$$\log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \cos{\left (x \right )} = - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной