График функции y = log(cos(x)+sin(x))

Вы ввели

f(x) = log(cos(x) + sin(x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - i \log{\left (\frac{1 + i}{1 - i} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 95.8185759345$$
$$x_{2} = 76.9690200129$$
$$x_{3} = -36.1283155163$$
$$x_{4} = -92.6769832809$$
$$x_{5} = 56.5486677646$$
$$x_{6} = -10.9955742876$$
$$x_{7} = 75.3982236862$$
$$x_{8} = 51.8362787842$$
$$x_{9} = 18.8495559215$$
$$x_{10} = 14.1371669412$$
$$x_{11} = -31.4159265359$$
$$x_{12} = 12.5663706144$$
$$x_{13} = -18.8495559215$$
$$x_{14} = -23.5619449019$$
$$x_{15} = 43.9822971503$$
$$x_{16} = -54.9778714378$$
$$x_{17} = 45.5530934771$$
$$x_{18} = -80.1106126665$$
$$x_{19} = 89.5353906273$$
$$x_{20} = 87.9645943005$$
$$x_{21} = 83.2522053201$$
$$x_{22} = 39.2699081699$$
$$x_{23} = 32.9867228627$$
$$x_{24} = 64.4026493986$$
$$x_{25} = -48.6946861306$$
$$x_{26} = -106.814150222$$
$$x_{27} = -67.5442420522$$
$$x_{28} = -86.3937979737$$
$$x_{29} = -37.6991118431$$
$$x_{30} = 31.4159265359$$
$$x_{31} = -75.3982236862$$
$$x_{32} = -61.261056745$$
$$x_{33} = 0$$
$$x_{34} = -94.2477796077$$
$$x_{35} = -17.2787595947$$
$$x_{36} = 50.2654824574$$
$$x_{37} = -25.1327412287$$
$$x_{38} = -43.9822971503$$
$$x_{39} = -81.6814089933$$
$$x_{40} = 69.115038379$$
$$x_{41} = -42.4115008235$$
$$x_{42} = 7.85398163397$$
$$x_{43} = -6.28318530718$$
$$x_{44} = 62.8318530718$$
$$x_{45} = -73.8274273594$$
$$x_{46} = -4.71238898038$$
$$x_{47} = 25.1327412287$$
$$x_{48} = -62.8318530718$$
$$x_{49} = 94.2477796077$$
$$x_{50} = 70.6858347058$$
$$x_{51} = 20.4203522483$$
$$x_{52} = -29.8451302091$$
$$x_{53} = 81.6814089933$$
$$x_{54} = 100.530964915$$
$$x_{55} = 58.1194640914$$
$$x_{56} = -98.9601685881$$
$$x_{57} = -69.115038379$$
$$x_{58} = 6.28318530718$$
$$x_{59} = -87.9645943005$$
$$x_{60} = -50.2654824574$$
$$x_{61} = 26.7035375555$$
$$x_{62} = 37.6991118431$$
$$x_{63} = 1.57079632679$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(cos(x) + sin(x)).
$$\log{\left (\sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -3*pi            /  ___\ 
(-----, pi*I + log\\/ 2 /)
   4                      

 pi     /  ___\ 
(--, log\\/ 2 /)
 4              

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4]

Возрастает на промежутках

[pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(cos(x) + sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )} = - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной