График функции y = log(cos(x))^(2)

Вы ввели

          2        
f(x) = log (cos(x))

$$f{\left (x \right )} = \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -94.2469846329$$
$$x_{2} = 100.530185095$$
$$x_{3} = 12.5654954774$$
$$x_{4} = -37.6992581167$$
$$x_{5} = -6.28228795826$$
$$x_{6} = -75.3991943475$$
$$x_{7} = -43.9823594485$$
$$x_{8} = -81.6816057495$$
$$x_{9} = -50.2646361505$$
$$x_{10} = 56.5478402962$$
$$x_{11} = 81.6824078361$$
$$x_{12} = -31.4168493934$$
$$x_{13} = 87.9647184897$$
$$x_{14} = 43.9823593747$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = 6.28308978696$$
$$x_{17} = 50.2654378646$$
$$x_{18} = 94.2477860034$$
$$x_{19} = 37.7000600154$$
$$x_{20} = -87.964719865$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(cos(x))^2.
$$\log^{2}{\left (\cos{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

        2 
(pi, -pi )

(2*pi, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
$$x_{3} = 2 \pi$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[2*pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -25.1327415195$$
$$x_{2} = -18.8495563231$$
$$x_{3} = -12.5663703221$$
$$x_{4} = -31.4159267128$$
$$x_{5} = 69.1150387959$$
$$x_{6} = -25.1327406286$$
$$x_{7} = -69.1150386763$$
$$x_{8} = -81.6814090382$$
$$x_{9} = -56.5486674789$$
$$x_{10} = -56.5486683857$$
$$x_{11} = -87.9645943587$$
$$x_{12} = 87.9645943359$$
$$x_{13} = 18.8495556374$$
$$x_{14} = 25.1327408351$$
$$x_{15} = 62.8318527943$$
$$x_{16} = 12.5663704453$$
$$x_{17} = 31.4159259552$$
$$x_{18} = 0$$
$$x_{19} = -18.8495555208$$
$$x_{20} = 81.6814091859$$
$$x_{21} = 69.115037993$$
$$x_{22} = -100.530964636$$
$$x_{23} = 6.28318528422$$
$$x_{24} = 75.3982231232$$
$$x_{25} = -75.3982238708$$
$$x_{26} = -12.5663712144$$
$$x_{27} = 100.530964762$$
$$x_{28} = 25.1327416374$$
$$x_{29} = -94.2477794475$$
$$x_{30} = 37.6991120278$$
$$x_{31} = 56.5486676035$$
$$x_{32} = -62.8318526787$$
$$x_{33} = 18.849556544$$
$$x_{34} = 94.2477796094$$
$$x_{35} = -69.1150377992$$
$$x_{36} = -62.8318534816$$
$$x_{37} = -43.9822971746$$
$$x_{38} = 50.2654824463$$
$$x_{39} = 75.3982239916$$
$$x_{40} = 62.831853719$$
$$x_{41} = -50.265482289$$
$$x_{42} = -37.6991118772$$
$$x_{43} = 43.9822971695$$
$$x_{44} = -6.28318513053$$
$$x_{45} = 31.4159268348$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на всей числовой оси

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = \log^{2}{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log^{2}{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = \log^{2}{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log^{2}{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(cos(x))^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$
- Да
$$\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} = - \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной