График функции y = log(log(x^2))

Вы ввели

          /   / 2\\
f(x) = log\log\x //

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - e^{\frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{1}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.64872127070013$$
$$x_{2} = 1.64872127070013$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(log(x^2)).
$$\log{\left(\log{\left(0^{2} \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2}{x \log{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(x^{2} \right)}}\right)}{x^{2} \log{\left(x^{2} \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{e}$$
$$x_{2} = e^{-1}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{1}{e}, e^{-1}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{e}\right] \cup \left[e^{-1}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(log(x^2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)} = \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)}$$
- Да
$$\log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)} = - \log{\left(\log{\left(x^{2} \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График