График функции y = log(-cos(x)-sin(x))

Вы ввели

f(x) = log(-cos(x) - sin(x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = - i \log{\left (- \frac{1 + i}{1 - i} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.8185759345$$
$$x_{2} = 84.8230016469$$
$$x_{3} = -91.1061869541$$
$$x_{4} = 61.261056745$$
$$x_{5} = 97.3893722613$$
$$x_{6} = 78.5398163397$$
$$x_{7} = 54.9778714378$$
$$x_{8} = -64.4026493986$$
$$x_{9} = 17.2787595947$$
$$x_{10} = 36.1283155163$$
$$x_{11} = 9.42477796077$$
$$x_{12} = 80.1106126665$$
$$x_{13} = 10.9955742876$$
$$x_{14} = -40.8407044967$$
$$x_{15} = 23.5619449019$$
$$x_{16} = 98.9601685881$$
$$x_{17} = -7.85398163397$$
$$x_{18} = -51.8362787842$$
$$x_{19} = 40.8407044967$$
$$x_{20} = -83.2522053201$$
$$x_{21} = -97.3893722613$$
$$x_{22} = -76.9690200129$$
$$x_{23} = 48.6946861306$$
$$x_{24} = 29.8451302091$$
$$x_{25} = 42.4115008235$$
$$x_{26} = -53.407075111$$
$$x_{27} = 72.2566310326$$
$$x_{28} = -39.2699081699$$
$$x_{29} = -3.14159265359$$
$$x_{30} = 92.6769832809$$
$$x_{31} = -58.1194640914$$
$$x_{32} = -59.6902604182$$
$$x_{33} = -84.8230016469$$
$$x_{34} = -32.9867228627$$
$$x_{35} = -26.7035375555$$
$$x_{36} = -103.672557568$$
$$x_{37} = 67.5442420522$$
$$x_{38} = 59.6902604182$$
$$x_{39} = -21.9911485751$$
$$x_{40} = 21.9911485751$$
$$x_{41} = -1.57079632679$$
$$x_{42} = -70.6858347058$$
$$x_{43} = 86.3937979737$$
$$x_{44} = 15.7079632679$$
$$x_{45} = -20.4203522483$$
$$x_{46} = 28.2743338823$$
$$x_{47} = -47.1238898038$$
$$x_{48} = -14.1371669412$$
$$x_{49} = 4.71238898038$$
$$x_{50} = 91.1061869541$$
$$x_{51} = -72.2566310326$$
$$x_{52} = -45.5530934771$$
$$x_{53} = 47.1238898038$$
$$x_{54} = -15.7079632679$$
$$x_{55} = -65.9734457254$$
$$x_{56} = 65.9734457254$$
$$x_{57} = 3.14159265359$$
$$x_{58} = -89.5353906273$$
$$x_{59} = 73.8274273594$$
$$x_{60} = -9.42477796077$$
$$x_{61} = 53.407075111$$
$$x_{62} = 34.5575191895$$
$$x_{63} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(-cos(x) - sin(x)).
$$\log{\left (- \cos{\left (0 \right )} - \sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = i \pi$$
Точка:

(0, pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -3*pi     /  ___\ 
(-----, log\\/ 2 /)
   4               

 pi            /  ___\ 
(--, pi*I + log\\/ 2 /)
 4                     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3*pi/4]

Возрастает на промежутках

[-3*pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -2, 2\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(-cos(x) - sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )} = - \log{\left (\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной