График функции y = log(|x-1|)

Вы ввели

f(x) = log(|x - 1|)

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(|x - 1|).
$$\log{\left (\left|{-1}\right| \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{\operatorname{sign}{\left (x - 1 \right )}}{\left|{x - 1}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(|x - 1|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )} = \log{\left (\left|{x + 1}\right| \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\left|{x - 1}\right| \right )} = - \log{\left (\left|{x + 1}\right| \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной