График функции y = log(|x+1|)

Вы ввели

f(x) = log(|x + 1|)

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(|x + 1|).
$$\log{\left(\left|{0 + 1}\right| \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{\left|{x + 1}\right|} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \delta\left(x + 1\right)}{\left|{x + 1}\right|} - \frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(|x + 1|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} = \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} = - \log{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График