График функции y = log((|x^2-1|))

Вы ввели

          /| 2    |\
f(x) = log\|x  - 1|/

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -1.4142135623731$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(|x^2 - 1*1|).
$$\log{\left(\left|{\left(-1\right) 1 + 0^{2}}\right| \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 x}{\left|{x^{2} - 1}\right|} \operatorname{sign}{\left (x^{2} - 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(\frac{4 x^{2} \delta\left(x^{2} - 1\right)}{\left|{x^{2} - 1}\right|} - \frac{2 x^{2} \operatorname{sign}^{2}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x^{2} - 1 \right)}}{\left|{x^{2} - 1}\right|}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(|x^2 - 1*1|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)} = \log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}$$
- Да
$$\log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)} = - \log{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График