График функции y = (log(1-x))/(1-x)

Вы ввели

       log(1 - x)
f(x) = ----------
         1 - x   

$$f{\left (x \right )} = \frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{- x + 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{- x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1 - x)/(1 - x).
$$\frac{\log{\left (- 0 + 1 \right )}}{- 0 + 1}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{\left(- x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - e + 1$$
Зн. экстремумы в точках:

         -1 
(1 - E, e  )

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - e + 1$$
Убывает на промежутках

(-oo, -E + 1]

Возрастает на промежутках

[-E + 1, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(- 2 \log{\left (- x + 1 \right )} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - e^{\frac{3}{2}} + 1$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(- 2 \log{\left (- x + 1 \right )} + 3\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(- 2 \log{\left (- x + 1 \right )} + 3\right)\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -exp(3/2) + 1]

Выпуклая на промежутках

[-exp(3/2) + 1, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{- x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{- x + 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 - x)/(1 - x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{x \left(- x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{x \left(- x + 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{- x + 1} = \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x + 1}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left (- x + 1 \right )}}{- x + 1} = - \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной