График функции y = log(1+1/x)-x

Вы ввели

          /    1\    
f(x) = log|1 + -| - x
          \    x/    

$$f{\left (x \right )} = - x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0.806465994236$$
$$x_{2} = -1.3499764854$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(1 + 1/x) - x.
$$- 0 + \log{\left (\frac{1}{0} + 1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$-1 - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{2 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/2]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 + 1/x) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )} = x + \log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
$$- x + \log{\left (1 + \frac{1}{x} \right )} = - x - \log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной