График функции y = log(sin(2*x))

Вы ввели

f(x) = log(sin(2*x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 25.9181394646$$
$$x_{2} = -18.0641576989$$
$$x_{3} = 19.634954382$$
$$x_{4} = -71.4712330462$$
$$x_{5} = 76.1836219132$$
$$x_{6} = 66.7588434564$$
$$x_{7} = 3.92699088294$$
$$x_{8} = 22.7765462611$$
$$x_{9} = -24.3473427873$$
$$x_{10} = -49.4800844648$$
$$x_{11} = 63.6172515528$$
$$x_{12} = 41.6261029672$$
$$x_{13} = 88.7499920495$$
$$x_{14} = -90.3207885389$$
$$x_{15} = -11.7809724258$$
$$x_{16} = -68.3296399553$$
$$x_{17} = -33.7721210086$$
$$x_{18} = 32.2013247418$$
$$x_{19} = -99.7455667547$$
$$x_{20} = 98.1747705012$$
$$x_{21} = 38.4845098595$$
$$x_{22} = -46.3384913715$$
$$x_{23} = 91.8915852088$$
$$x_{24} = -2.35619420285$$
$$x_{25} = 44.7676948608$$
$$x_{26} = 54.1924733269$$
$$x_{27} = -27.4889358836$$
$$x_{28} = 60.4756584404$$
$$x_{29} = -5.49778730246$$
$$x_{30} = -84.0376034458$$
$$x_{31} = 69.9004366275$$
$$x_{32} = -40.0553062809$$
$$x_{33} = 16.4933612786$$
$$x_{34} = -62.0464548632$$
$$x_{35} = 85.6084001389$$
$$x_{36} = -55.763269591$$
$$x_{37} = 82.4668070212$$
$$x_{38} = 10.2101761576$$
$$x_{39} = -77.754418173$$
$$x_{40} = -93.4623816276$$
$$x_{41} = 47.9092880461$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(2*x)).
$$\log{\left (\sin{\left (0 \cdot 2 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2 \cos{\left (2 x \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 0)
 4     

 3*pi       
(----, pi*I)
  4         

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4]

Возрастает на промежутках

[pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(2*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (- \sin{\left (2 x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = - \log{\left (- \sin{\left (2 x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной