График функции y = log(sin(2*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = log(sin(2*x))
f(x)=log(sin(2x))f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}
График функции
0-150000-125000-100000-75000-50000-250002500050000750001000001250005-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(sin(2x))=0\log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Численное решение
x1=25.9181394646x_{1} = 25.9181394646
x2=18.0641576989x_{2} = -18.0641576989
x3=19.634954382x_{3} = 19.634954382
x4=71.4712330462x_{4} = -71.4712330462
x5=76.1836219132x_{5} = 76.1836219132
x6=66.7588434564x_{6} = 66.7588434564
x7=3.92699088294x_{7} = 3.92699088294
x8=22.7765462611x_{8} = 22.7765462611
x9=24.3473427873x_{9} = -24.3473427873
x10=49.4800844648x_{10} = -49.4800844648
x11=63.6172515528x_{11} = 63.6172515528
x12=41.6261029672x_{12} = 41.6261029672
x13=88.7499920495x_{13} = 88.7499920495
x14=90.3207885389x_{14} = -90.3207885389
x15=11.7809724258x_{15} = -11.7809724258
x16=68.3296399553x_{16} = -68.3296399553
x17=33.7721210086x_{17} = -33.7721210086
x18=32.2013247418x_{18} = 32.2013247418
x19=99.7455667547x_{19} = -99.7455667547
x20=98.1747705012x_{20} = 98.1747705012
x21=38.4845098595x_{21} = 38.4845098595
x22=46.3384913715x_{22} = -46.3384913715
x23=91.8915852088x_{23} = 91.8915852088
x24=2.35619420285x_{24} = -2.35619420285
x25=44.7676948608x_{25} = 44.7676948608
x26=54.1924733269x_{26} = 54.1924733269
x27=27.4889358836x_{27} = -27.4889358836
x28=60.4756584404x_{28} = 60.4756584404
x29=5.49778730246x_{29} = -5.49778730246
x30=84.0376034458x_{30} = -84.0376034458
x31=69.9004366275x_{31} = 69.9004366275
x32=40.0553062809x_{32} = -40.0553062809
x33=16.4933612786x_{33} = 16.4933612786
x34=62.0464548632x_{34} = -62.0464548632
x35=85.6084001389x_{35} = 85.6084001389
x36=55.763269591x_{36} = -55.763269591
x37=82.4668070212x_{37} = 82.4668070212
x38=10.2101761576x_{38} = 10.2101761576
x39=77.754418173x_{39} = -77.754418173
x40=93.4623816276x_{40} = -93.4623816276
x41=47.9092880461x_{41} = 47.9092880461
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(2*x)).
log(sin(02))\log{\left (\sin{\left (0 \cdot 2 \right )} \right )}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
2cos(2x)sin(2x)=0\frac{2 \cos{\left (2 x \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
x2=3π4x_{2} = \frac{3 \pi}{4}
Зн. экстремумы в точках:
 pi    
(--, 0)
 4     

 3*pi       
(----, pi*I)
  4         


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Убывает на промежутках
(-oo, pi/4]

Возрастает на промежутках
[pi/4, oo)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
4(1+cos2(2x)sin2(2x))=0- 4 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxlog(sin(2x))=log(1,1)\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=log(1,1)y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
limxlog(sin(2x))=log(1,1)\lim_{x \to \infty} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=log(1,1)y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(2*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xlog(sin(2x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xlog(sin(2x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(sin(2x))=log(sin(2x))\log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = \log{\left (- \sin{\left (2 x \right )} \right )}
- Нет
log(sin(2x))=log(sin(2x))\log{\left (\sin{\left (2 x \right )} \right )} = - \log{\left (- \sin{\left (2 x \right )} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной