График функции y = log(sin(sqrt(x)))

Вы ввели

          /   /  ___\\
f(x) = log\sin\\/ x //

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 61.6850381515$$
$$x_{2} = 61.6850222914$$
$$x_{3} = 2.46740241564$$
$$x_{4} = 2.46740171991$$
$$x_{5} = 61.6850060969$$
$$x_{6} = 61.6850304364$$
$$x_{7} = 61.6850286216$$
$$x_{8} = 61.6850267982$$
$$x_{9} = 61.6850504826$$
$$x_{10} = 61.6850405937$$
$$x_{11} = 61.6850363003$$
$$x_{12} = 61.685016292$$
$$x_{13} = 61.6850335305$$
$$x_{14} = 61.6850126112$$
$$x_{15} = 61.6850247703$$
$$x_{16} = 61.6850441609$$
$$x_{17} = 61.6850348021$$
$$x_{18} = 61.6850295213$$
$$x_{19} = 61.6850188179$$
$$x_{20} = 61.6850313901$$
$$x_{21} = 61.6850236105$$
$$x_{22} = 61.6850207366$$
$$x_{23} = 2.46740096706$$
$$x_{24} = 61.6850324097$$
$$x_{25} = 61.6850277052$$
$$x_{26} = 2.46740362585$$
$$x_{27} = 61.6850258206$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(sqrt(x))).
$$\log{\left (\sin{\left (\sqrt{0} \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

   2    
 pi     
(---, 0)
  4     

     2       
 9*pi        
(-----, pi*I)
   4         

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi**2/4]

Возрастает на промежутках

[pi**2/4, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(sqrt(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \log{\left (\sin{\left (\sqrt{- x} \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = - \log{\left (\sin{\left (\sqrt{- x} \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной