График функции y = log(sin(sqrt(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /   /  ___\\
f(x) = log\sin\\/ x //
f(x)=log(sin(x))f{\left (x \right )} = \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}
График функции
500100015002000250030005-5
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(sin(x))=0\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Численное решение
x1=61.6850381515x_{1} = 61.6850381515
x2=61.6850222914x_{2} = 61.6850222914
x3=2.46740241564x_{3} = 2.46740241564
x4=2.46740171991x_{4} = 2.46740171991
x5=61.6850060969x_{5} = 61.6850060969
x6=61.6850304364x_{6} = 61.6850304364
x7=61.6850286216x_{7} = 61.6850286216
x8=61.6850267982x_{8} = 61.6850267982
x9=61.6850504826x_{9} = 61.6850504826
x10=61.6850405937x_{10} = 61.6850405937
x11=61.6850363003x_{11} = 61.6850363003
x12=61.685016292x_{12} = 61.685016292
x13=61.6850335305x_{13} = 61.6850335305
x14=61.6850126112x_{14} = 61.6850126112
x15=61.6850247703x_{15} = 61.6850247703
x16=61.6850441609x_{16} = 61.6850441609
x17=61.6850348021x_{17} = 61.6850348021
x18=61.6850295213x_{18} = 61.6850295213
x19=61.6850188179x_{19} = 61.6850188179
x20=61.6850313901x_{20} = 61.6850313901
x21=61.6850236105x_{21} = 61.6850236105
x22=61.6850207366x_{22} = 61.6850207366
x23=2.46740096706x_{23} = 2.46740096706
x24=61.6850324097x_{24} = 61.6850324097
x25=61.6850277052x_{25} = 61.6850277052
x26=2.46740362585x_{26} = 2.46740362585
x27=61.6850258206x_{27} = 61.6850258206
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(sqrt(x))).
log(sin(0))\log{\left (\sin{\left (\sqrt{0} \right )} \right )}
Результат:
f(0)=~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
cos(x)2xsin(x)=0\frac{\cos{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x} \sin{\left (\sqrt{x} \right )}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
x2=9π24x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}
Зн. экстремумы в точках:
   2    
 pi     
(---, 0)
  4     

     2       
 9*pi        
(-----, pi*I)
   4         


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x2=π24x_{2} = \frac{\pi^{2}}{4}
Убывает на промежутках
(-oo, pi**2/4]

Возрастает на промежутках
[pi**2/4, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxlog(sin(x))=\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
limxlog(sin(x))=log(1,1)\lim_{x \to \infty} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=log(1,1)y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(sqrt(x))), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlimx(1xlog(sin(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right)
limx(1xlog(sin(x)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(sin(x))=log(sin(x))\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = \log{\left (\sin{\left (\sqrt{- x} \right )} \right )}
- Нет
log(sin(x))=log(sin(x))\log{\left (\sin{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} = - \log{\left (\sin{\left (\sqrt{- x} \right )} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной