График функции y = log(sin(x))

Вы ввели

f(x) = log(sin(x))

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 20.4203523413041$$
$$x_{2} = 1.57079660167231$$
$$x_{3} = -10.9955735120111$$
$$x_{4} = -29.8451300946193$$
$$x_{5} = -98.9601678624104$$
$$x_{6} = -48.6946869113465$$
$$x_{7} = 58.119464370396$$
$$x_{8} = -73.8274273885517$$
$$x_{9} = 64.4026494793175$$
$$x_{10} = -80.1106127903609$$
$$x_{11} = 89.5353892520407$$
$$x_{12} = 83.2522058199769$$
$$x_{13} = 14.1371668991051$$
$$x_{14} = -48.694686949957$$
$$x_{15} = 51.8362789063255$$
$$x_{16} = -29.8451302446469$$
$$x_{17} = -54.9778713174705$$
$$x_{18} = -23.5619447959101$$
$$x_{19} = -36.1283154154305$$
$$x_{20} = 58.1194640425023$$
$$x_{21} = -54.9778719110131$$
$$x_{22} = 51.8362786093149$$
$$x_{23} = -54.9778705207315$$
$$x_{24} = -17.2787590751963$$
$$x_{25} = -67.5442419322395$$
$$x_{26} = 39.2699074396221$$
$$x_{27} = 76.9690195814988$$
$$x_{28} = -73.827427279653$$
$$x_{29} = -42.4115015246508$$
$$x_{30} = -29.8451302007713$$
$$x_{31} = -10.9955733481573$$
$$x_{32} = 14.1371669434725$$
$$x_{33} = -86.3937986220237$$
$$x_{34} = 32.9867238176799$$
$$x_{35} = 76.9690208439152$$
$$x_{36} = -10.9955741211687$$
$$x_{37} = 26.7035372979479$$
$$x_{38} = -67.5442421737401$$
$$x_{39} = -61.2610561822839$$
$$x_{40} = -42.4115005591739$$
$$x_{41} = 70.6858351446748$$
$$x_{42} = 1.57079557309815$$
$$x_{43} = -61.2610552210018$$
$$x_{44} = 20.4203521458531$$
$$x_{45} = 83.2522046133019$$
$$x_{46} = -86.3937977199047$$
$$x_{47} = 58.1194640878142$$
$$x_{48} = 32.9867230918614$$
$$x_{49} = 32.9867224176774$$
$$x_{50} = -92.676984146129$$
$$x_{51} = -98.9601690759292$$
$$x_{52} = 26.7035380336909$$
$$x_{53} = 14.1371671149845$$
$$x_{54} = -54.9778706878326$$
$$x_{55} = 70.6858344584179$$
$$x_{56} = 76.9690209763474$$
$$x_{57} = -73.8274273446888$$
$$x_{58} = 39.2699074534854$$
$$x_{59} = 89.5353897747913$$
$$x_{60} = -4.71238973521995$$
$$x_{61} = -48.6946856746846$$
$$x_{62} = -36.1283156556098$$
$$x_{63} = -98.9601685005998$$
$$x_{64} = 7.85398147767715$$
$$x_{65} = -4.71238851018714$$
$$x_{66} = -80.1106125767506$$
$$x_{67} = -61.2610570233699$$
$$x_{68} = 32.9867236651869$$
$$x_{69} = 64.402649305744$$
$$x_{70} = 95.8185760669056$$
$$x_{71} = 83.2522055855063$$
$$x_{72} = 45.5530926724619$$
$$x_{73} = 95.8185757390985$$
$$x_{74} = 45.5530937626454$$
$$x_{75} = -17.2787598626449$$
$$x_{76} = 7.85398174556756$$
$$x_{77} = -92.6769828388254$$
$$x_{78} = -23.5619450139675$$
$$x_{79} = -4.71238974981597$$
$$x_{80} = 89.5353909237568$$
$$x_{81} = 39.2699086546913$$
$$x_{82} = -92.6769840888992$$
$$x_{83} = 83.2522046592344$$
$$x_{84} = -10.9955747464857$$
$$x_{85} = 45.5530919949765$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(x)).
$$\log{\left(\sin{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi    
(--, 0)
 2     

 3*pi       
(----, pi*I)
  2         

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График