График функции y = log(sin(x)-cos(x))

Вы ввели

f(x) = log(sin(x) - cos(x))

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 32.9867228626928$$
$$x_{2} = 34.5575191894877$$
$$x_{3} = 9.42477796076938$$
$$x_{4} = 3.14159265358979$$
$$x_{5} = -84.8230016469244$$
$$x_{6} = -53.4070751110265$$
$$x_{7} = -34.5575191894877$$
$$x_{8} = -40.8407044966673$$
$$x_{9} = -98.9601685880785$$
$$x_{10} = -97.3893722612836$$
$$x_{11} = -59.6902604182061$$
$$x_{12} = 95.8185759344887$$
$$x_{13} = -61.261056745001$$
$$x_{14} = 40.8407044966673$$
$$x_{15} = -80.1106126665397$$
$$x_{16} = -48.6946861306418$$
$$x_{17} = 91.106186954104$$
$$x_{18} = -72.2566310325652$$
$$x_{19} = 83.2522053201295$$
$$x_{20} = -42.4115008234622$$
$$x_{21} = 20.4203522483337$$
$$x_{22} = 84.8230016469244$$
$$x_{23} = 103.672557568463$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = 72.2566310325652$$
$$x_{26} = -21.9911485751286$$
$$x_{27} = -73.8274273593601$$
$$x_{28} = 53.4070751110265$$
$$x_{29} = -23.5619449019235$$
$$x_{30} = 51.8362787842316$$
$$x_{31} = -28.2743338823081$$
$$x_{32} = 45.553093477052$$
$$x_{33} = -92.6769832808989$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{35} = 59.6902604182061$$
$$x_{36} = -10.9955742875643$$
$$x_{37} = 26.7035375555132$$
$$x_{38} = -67.5442420521806$$
$$x_{39} = 58.1194640914112$$
$$x_{40} = -36.1283155162826$$
$$x_{41} = -86.3937979737193$$
$$x_{42} = -17.2787595947439$$
$$x_{43} = -4.71238898038469$$
$$x_{44} = -78.5398163397448$$
$$x_{45} = -65.9734457253857$$
$$x_{46} = 7.85398163397448$$
$$x_{47} = -54.9778714378214$$
$$x_{48} = 1.5707963267949$$
$$x_{49} = 64.4026493985908$$
$$x_{50} = 78.5398163397448$$
$$x_{51} = -29.845130209103$$
$$x_{52} = 39.2699081698724$$
$$x_{53} = 70.6858347057703$$
$$x_{54} = 76.9690200129499$$
$$x_{55} = 15.707963267949$$
$$x_{56} = 65.9734457253857$$
$$x_{57} = 97.3893722612836$$
$$x_{58} = 378.56191475757$$
$$x_{59} = -9.42477796076938$$
$$x_{60} = 14.1371669411541$$
$$x_{61} = 21.9911485751286$$
$$x_{62} = 28.2743338823081$$
$$x_{63} = 47.1238898038469$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(x) - cos(x)).
$$\log{\left(- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = i \pi$$
Точка:

(0, pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi             /  ___\ 
(----, pi*I + log\\/ 2 /)
  4                      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (1 + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left(\left\langle -2, 2\right\rangle \right)}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(x) - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График