График функции y = log(sin(x))+x

Вы ввели

f(x) = log(sin(x)) + x

$$f{\left (x \right )} = x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 0.588532743982$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(sin(x)) + x.
$$\log{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$1 + \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

                        /  ___\ 
 -pi     pi             |\/ 2 | 
(----, - -- + pi*I + log|-----|)
  4      4              \  2  / 

                 /  ___\ 
 3*pi  3*pi      |\/ 2 | 
(----, ---- + log|-----|)
  4     4        \  2  / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 3*pi/4]

Возрастает на промежутках

[3*pi/4, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} - \infty$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} - \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + \infty$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -1, 1\rangle \right )} + \infty$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(sin(x)) + x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - x + \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$x + \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - -1 x - \log{\left (- \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной