График функции y = log(tan(5*x)+2)

Вы ввели

f(x) = log(tan(5*x) + 2)

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{20}$$
Численное решение
$$x_{1} = -27.8030949843$$
$$x_{2} = 38.1703507411$$
$$x_{3} = -49.7942435594$$
$$x_{4} = -68.0154809502$$
$$x_{5} = -32.2013246993$$
$$x_{6} = -0.157079632679$$
$$x_{7} = -59.8473400509$$
$$x_{8} = -17.7499984928$$
$$x_{9} = 87.8075146678$$
$$x_{10} = 62.0464549084$$
$$x_{11} = -35.9712358836$$
$$x_{12} = -5.81194640914$$
$$x_{13} = -61.732295643$$
$$x_{14} = -76.1836218496$$
$$x_{15} = 60.1614993162$$
$$x_{16} = 14.2942465738$$
$$x_{17} = -90.0066295253$$
$$x_{18} = -83.7234442182$$
$$x_{19} = 70.2145958077$$
$$x_{20} = 82.1526478914$$
$$x_{21} = -10.2101761242$$
$$x_{22} = -93.7765407097$$
$$x_{23} = -54.1924732744$$
$$x_{24} = 4.24115008235$$
$$x_{25} = -79.9535330339$$
$$x_{26} = 51.9933584169$$
$$x_{27} = 65.8163660927$$
$$x_{28} = -81.838488626$$
$$x_{29} = 95.9756555672$$
$$x_{30} = -98.1747704247$$
$$x_{31} = -24.0331838$$
$$x_{32} = 73.984506992$$
$$x_{33} = -22.1482282078$$
$$x_{34} = 8.01106126665$$
$$x_{35} = -37.8561914758$$
$$x_{36} = 92.2057443829$$
$$x_{37} = 30.0022098418$$
$$x_{38} = -39.7411470679$$
$$x_{39} = -57.9623844587$$
$$x_{40} = -71.7853921345$$
$$x_{41} = -46.0243323751$$
$$x_{42} = 11.780972451$$
$$x_{43} = 43.8252175176$$
$$x_{44} = 21.8340689424$$
$$x_{45} = -13.9800873085$$
$$x_{46} = 16.179202166$$
$$x_{47} = 84.0376034835$$
$$x_{48} = 36.285395149$$
$$x_{49} = 80.2676922992$$
$$x_{50} = 48.2234472326$$
$$x_{51} = 26.2322986575$$
$$x_{52} = 58.2765437241$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(tan(5*x) + 2).
$$\log{\left (\tan{\left (0 \cdot 5 \right )} + 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \log{\left (2 \right )}$$
Точка:

(0, log(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{5 \tan^{2}{\left (5 x \right )} + 5}{\tan{\left (5 x \right )} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{25}{\tan{\left (5 x \right )} + 2} \left(2 \tan{\left (5 x \right )} - \frac{\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1}{\tan{\left (5 x \right )} + 2}\right) \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{5} \operatorname{atan}{\left (2 + \sqrt{5} \right )}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{5} \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{5} + 2 \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -atan(2 + sqrt(5))/5] U [-atan(-sqrt(5) + 2)/5, oo)

Выпуклая на промежутках

[-atan(2 + sqrt(5))/5, -atan(-sqrt(5) + 2)/5]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(tan(5*x) + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )} = \log{\left (- \tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )} = - \log{\left (- \tan{\left (5 x \right )} + 2 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной