График функции y = log(3*sin(x))

Вы ввели

f(x) = log(3*sin(x))

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )} + \pi$$
$$x_{2} = \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{3} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -93.9079426982$$
$$x_{2} = 6.62302221663$$
$$x_{3} = -60.0300973277$$
$$x_{4} = -9.76461487022$$
$$x_{5} = -56.2088308552$$
$$x_{6} = -43.6424602408$$
$$x_{7} = -87.6247573911$$
$$x_{8} = -75.0583867767$$
$$x_{9} = -41.1805414061$$
$$x_{10} = 40.5008675872$$
$$x_{11} = 82.0212459028$$
$$x_{12} = 94.5876165171$$
$$x_{13} = 34.21768228$$
$$x_{14} = -85.1628385564$$
$$x_{15} = -37.3592749336$$
$$x_{16} = 78.1999794303$$
$$x_{17} = 44.3221340597$$
$$x_{18} = 71.9167941231$$
$$x_{19} = 31.7557634454$$
$$x_{20} = 50.6053193669$$
$$x_{21} = -16.0478001774$$
$$x_{22} = -81.3415720839$$
$$x_{23} = 46.7840528944$$
$$x_{24} = 75.7380605956$$
$$x_{25} = 38.0389487525$$
$$x_{26} = -12.2265337049$$
$$x_{27} = -22.3309854846$$
$$x_{28} = -91.4460238636$$
$$x_{29} = 90.7663500446$$
$$x_{30} = 2.80175574414$$
$$x_{31} = -18.5097190121$$
$$x_{32} = -47.4637267133$$
$$x_{33} = 27.9344969729$$
$$x_{34} = 88.30443121$$
$$x_{35} = -53.7469120205$$
$$x_{36} = -97.7292091707$$
$$x_{37} = -3.48142956304$$
$$x_{38} = -62.4920161623$$
$$x_{39} = 15.3681263585$$
$$x_{40} = 84.4831647375$$
$$x_{41} = -49.925645548$$
$$x_{42} = 254.129168031$$
$$x_{43} = -100.191128005$$
$$x_{44} = -66.3132826348$$
$$x_{45} = -5.94334839773$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(3*sin(x)).
$$\log{\left (3 \sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi         
(--, log(3))
 2          

 3*pi                
(----, pi*I + log(3))
  2                  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/2]

Возрастает на промежутках

[pi/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -3, 3\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \log{\left (\langle -3, 3\rangle \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (\langle -3, 3\rangle \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \log{\left (\langle -3, 3\rangle \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(3*sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )} = \log{\left (- 3 \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (3 \sin{\left (x \right )} \right )} = - \log{\left (- 3 \sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной