График функции y = log(3,(81+(|x|)))

Вы ввели

f(x) = log(3, 81 + |x|)

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(3, 81 + |x|).
$$\log{\left (3,\left|{0}\right| + 81 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (81 \right )}}$$
Точка:

(0, log(3)/log(81))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\operatorname{sign}{\left (x \right )} \left. \frac{d}{d \xi_{2}}\left(\frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (\xi_{2} \right )}}\right) \right|_{\substack{ \xi_{2}=\left|{x}\right| + 81 }} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

       log(3) 
(0, -------)
      log(81) 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left (\left|{x}\right| + 81 \right )}}\right) \log{\left (3 \right )} \operatorname{sign}^{2}{\left (x \right )}}{\left(\left|{x}\right| + 81\right)^{2} \log^{2}{\left (\left|{x}\right| + 81 \right )}} + 2 \delta\left(x\right) \left. \frac{d}{d \xi_{2}}\left(\frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (\xi_{2} \right )}}\right) \right|_{\substack{ \xi_{2}=\left|{x}\right| + 81 }} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(3, 81 + |x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )} = \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )}$$
- Да
$$\log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )} = - \log{\left (3,\left|{x}\right| + 81 \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной