График функции y = (log(13)/log(x-2))

Вы ввели

        log(13)  
f(x) = ----------
       log(x - 2)

$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(13)/log(x - 2).
$$\frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(-2 \right)}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(2 \right)} + i \pi}$$
Точка:

(0, log(13)/(pi*i + log(2)))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(13 \right)}}{\left(x - 2\right) \log{\left(x - 2 \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) \log{\left(13 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(x - 2 \right)}^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{-2} + 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) \log{\left(13 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) \log{\left(13 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(x - 2 \right)}^{2}}\right) = \infty$$
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{-2} + 2\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e^{-2} + 2, \infty\right)$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 3$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(13)/log(x - 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(13 \right)}}{x \log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(13 \right)}}{x \log{\left(x - 2 \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}} = \frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(- x - 2 \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(x - 2 \right)}} = - \frac{\log{\left(13 \right)}}{\log{\left(- x - 2 \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График