График функции y = log(x)/cos(x)

Вы ввели

       log(x)
f(x) = ------
       cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)/cos(x).
$$\frac{\log{\left (0 \right )}}{\cos{\left (0 \right )}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{\log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \cos{\left (x \right )}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 67.5442420522$$
$$x_{2} = -29.8451302091$$
$$x_{3} = -80.1106126665$$
$$x_{4} = 51.8362787842$$
$$x_{5} = 86.3937979737$$
$$x_{6} = 59.6861631334$$
$$x_{7} = 37.6918020442$$
$$x_{8} = 2.80984451769$$
$$x_{9} = 87.9620549318$$
$$x_{10} = -64.4026493986$$
$$x_{11} = 45.5530934771$$
$$x_{12} = -61.261056745$$
$$x_{13} = 64.4026493986$$
$$x_{14} = 92.6769832809$$
$$x_{15} = 47.1183811662$$
$$x_{16} = 89.5353906273$$
$$x_{17} = -1.57079632679$$
$$x_{18} = -20.4203522483$$
$$x_{19} = -67.5442420522$$
$$x_{20} = -58.1194640914$$
$$x_{21} = 15.6848060966$$
$$x_{22} = 1.57079632679$$
$$x_{23} = -95.8185759345$$
$$x_{24} = 95.8185759345$$
$$x_{25} = -83.2522053201$$
$$x_{26} = 36.1283155163$$
$$x_{27} = 73.8274273594$$
$$x_{28} = 100.528807339$$
$$x_{29} = 12.5348298194$$
$$x_{30} = 65.9698272808$$
$$x_{31} = -14.1371669412$$
$$x_{32} = 80.1106126665$$
$$x_{33} = 4.71238898038$$
$$x_{34} = 10.9955742876$$
$$x_{35} = 7.85398163397$$
$$x_{36} = 43.9762872787$$
$$x_{37} = -51.8362787842$$
$$x_{38} = -39.2699081699$$
$$x_{39} = 81.6786282415$$
$$x_{40} = -36.1283155163$$
$$x_{41} = -45.5530934771$$
$$x_{42} = -4.71238898038$$
$$x_{43} = 26.7035375555$$
$$x_{44} = 56.5442848565$$
$$x_{45} = -102.101761242$$
$$x_{46} = 14.1371669412$$
$$x_{47} = 70.6858347058$$
$$x_{48} = 50.2604032891$$
$$x_{49} = -7.85398163397$$
$$x_{50} = 6.19490264817$$
$$x_{51} = -86.3937979737$$
$$x_{52} = -89.5353906273$$
$$x_{53} = 78.5368983537$$
$$x_{54} = 72.2533974925$$
$$x_{55} = 20.4203522483$$
$$x_{56} = -17.2787595947$$
$$x_{57} = 94.2454455116$$
$$x_{58} = -42.4115008235$$
$$x_{59} = 28.2637461685$$
$$x_{60} = 21.9764235074$$
$$x_{61} = 34.5493485837$$
$$x_{62} = -23.5619449019$$
$$x_{63} = 48.6946861306$$
$$x_{64} = 29.8451302091$$
$$x_{65} = 42.4115008235$$
$$x_{66} = 23.5619449019$$
$$x_{67} = -73.8274273594$$
$$x_{68} = 58.1194640914$$
Зн. экстремумы в точках:

(67.5442420522, 216592725383.014)

(-29.8451302091, -1118231638297.7 - 329276942905.295*pi*I)

(-80.1106126665, -110345938494.734 - 25173547610.8408*pi*I)

(51.8362787842, 124975261097.668)

(86.3937979737, -230905209476.708)

(59.6861631334, -4.08913454384653)

(37.6918020442, 3.62953958685156)

(2.80984451769, -1.09270977670374)

(87.9620549318, 4.4769199619935)

(-64.4026493986, -450607210041.067 - 108184985842.761*pi*I)

(45.5530934771, -79564673050.7442)

(-61.261056745, -4240220078968.49 - 1030394007322.31*pi*I)

(64.4026493986, -450607210041.067)

(92.6769832809, 4105968842727.32)

(47.1183811662, -3.8527216386393)

(89.5353906273, 493711482632.221)

(-1.57079632679, 92223937558.1972 + 204223803255.973*pi*I)

(-20.4203522483, 89624553844.6306 + 29711122567.3313*pi*I)

(-67.5442420522, 216592725383.014 + 51413218907.0357*pi*I)

(-58.1194640914, 363459063995.106 + 89466832913.367*pi*I)

(15.6848060966, -2.75343071615176)

(1.57079632679, 92223937558.1972)

(-95.8185759345, -403404452502.392 - 88418255902.408*pi*I)

(95.8185759345, -403404452502.392)

(-83.2522053201, 149805622836.143 + 33878306317.8305*pi*I)

(36.1283155163, 206430384270.596)

(73.8274273594, 107910426606.413)

(100.528807339, 4.61045505775281)

(12.5348298194, 2.52976938556873)

(65.9698272808, -4.18922490011039)

(-14.1371669412, -57669637916.8254 - 21771926668.666*pi*I)

(80.1106126665, -110345938494.734)

(4.71238898038, -330548491244.546)

(10.9955742876, 67111763931.6631)

(7.85398163397, 459747264354.552)

(43.9762872787, 3.7837188941876)

(-51.8362787842, 124975261097.668 + 31654610876.0519*pi*I)

(-39.2699081699, -133067108741.061 - 36253538256.2462*pi*I)

(81.6786282415, 4.40280940194313)

(-36.1283155163, 206430384270.596 + 57548357284.8613*pi*I)

(-45.5530934771, -79564673050.7442 - 20834564994.8705*pi*I)

(-4.71238898038, -330548491244.546 - 213230266213.727*pi*I)

(26.7035375555, 248025545185.198)

(56.5442848565, 4.03506289039142)

(-102.101761242, -13945629661.4811 - 3014639034.90063*pi*I)

(14.1371669412, -57669637916.8254)

(70.6858347058, -143582778789.196)

(50.2604032891, 3.91726808477657)

(-7.85398163397, 459747264354.552 + 223067765747.284*pi*I)

(6.19490264817, 1.83085685931921)

(-86.3937979737, -230905209476.708 - 51785056086.7368*pi*I)

(-89.5353906273, 493711482632.221 + 109844647102.393*pi*I)

(78.5368983537, -4.36358713425436)

(72.2533974925, -4.28020172641179)

(20.4203522483, 89624553844.6306)

(-17.2787595947, -64961279032.0787 - 22797606976.324*pi*I)

(94.2454455116, 4.54591488475308)

(-42.4115008235, 99163429636.282 + 26461789972.9927*pi*I)

(28.2637461685, -3.34176723305646)

(21.9764235074, -3.09030524567846)

(34.5493485837, -3.54250694182563)

(-23.5619449019, -134735666305.835 - 42642822852.4012*pi*I)

(48.6946861306, -92961114459.7449)

(29.8451302091, -1118231638297.7)

(42.4115008235, 99163429636.282)

(23.5619449019, -134735666305.835)

(-73.8274273594, 107910426606.413 + 25085353777.4822*pi*I)

(58.1194640914, 363459063995.106)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{68} = 86.3937979737$$
$$x_{68} = 37.6918020442$$
$$x_{68} = 87.9620549318$$
$$x_{68} = 45.5530934771$$
$$x_{68} = 64.4026493986$$
$$x_{68} = 95.8185759345$$
$$x_{68} = 100.528807339$$
$$x_{68} = 12.5348298194$$
$$x_{68} = 80.1106126665$$
$$x_{68} = 4.71238898038$$
$$x_{68} = 43.9762872787$$
$$x_{68} = 81.6786282415$$
$$x_{68} = 56.5442848565$$
$$x_{68} = 14.1371669412$$
$$x_{68} = 70.6858347058$$
$$x_{68} = 50.2604032891$$
$$x_{68} = 6.19490264817$$
$$x_{68} = 94.2454455116$$
$$x_{68} = 48.6946861306$$
$$x_{68} = 29.8451302091$$
$$x_{68} = 23.5619449019$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{68} = 67.5442420522$$
$$x_{68} = 51.8362787842$$
$$x_{68} = 59.6861631334$$
$$x_{68} = 2.80984451769$$
$$x_{68} = 92.6769832809$$
$$x_{68} = 47.1183811662$$
$$x_{68} = 89.5353906273$$
$$x_{68} = 15.6848060966$$
$$x_{68} = 1.57079632679$$
$$x_{68} = 36.1283155163$$
$$x_{68} = 73.8274273594$$
$$x_{68} = 65.9698272808$$
$$x_{68} = 10.9955742876$$
$$x_{68} = 7.85398163397$$
$$x_{68} = 26.7035375555$$
$$x_{68} = 78.5368983537$$
$$x_{68} = 72.2533974925$$
$$x_{68} = 20.4203522483$$
$$x_{68} = 28.2637461685$$
$$x_{68} = 21.9764235074$$
$$x_{68} = 34.5493485837$$
$$x_{68} = 42.4115008235$$
$$x_{68} = 58.1194640914$$
Убывает на промежутках

[100.528807339, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 4.71238898038]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 67.5442420522$$
$$x_{2} = -89.5353906273$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -7.85398163397$$
$$x_{6} = -70.6858347058$$
$$x_{7} = -17.2787595947$$
$$x_{8} = 58.1194640914$$
$$x_{9} = 45.5530934771$$
$$x_{10} = 61.261056745$$
$$x_{11} = -58.1194640914$$
$$x_{12} = -48.6946861306$$
$$x_{13} = 92.6769832809$$
$$x_{14} = 76.9690200129$$
$$x_{15} = 17.2787595947$$
$$x_{16} = -73.8274273594$$
$$x_{17} = -95.8185759345$$
$$x_{18} = -14.1371669412$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = 39.2699081699$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = 36.1283155163$$
$$x_{23} = 73.8274273594$$
$$x_{24} = -4.71238898038$$
$$x_{25} = -51.8362787842$$
$$x_{26} = 32.9867228627$$
$$x_{27} = -1.57079632679$$
$$x_{28} = -54.9778714378$$
$$x_{29} = 10.9955742876$$
$$x_{30} = 7.85398163397$$
$$x_{31} = -29.8451302091$$
$$x_{32} = -39.2699081699$$
$$x_{33} = -80.1106126665$$
$$x_{34} = 64.4026493986$$
$$x_{35} = -61.261056745$$
$$x_{36} = -76.9690200129$$
$$x_{37} = 14.1371669412$$
$$x_{38} = 48.6946861306$$
$$x_{39} = 26.7035375555$$
$$x_{40} = 80.1106126665$$
$$x_{41} = 4.71238898038$$
$$x_{42} = -64.4026493986$$
$$x_{43} = -67.5442420522$$
$$x_{44} = -20.4203522483$$
$$x_{45} = -83.2522053201$$
$$x_{46} = -42.4115008235$$
$$x_{47} = -36.1283155163$$
$$x_{48} = -86.3937979737$$
$$x_{49} = 89.5353906273$$
$$x_{50} = -23.5619449019$$
$$x_{51} = -45.5530934771$$
$$x_{52} = 70.6858347058$$
$$x_{53} = 29.8451302091$$
$$x_{54} = 42.4115008235$$
$$x_{55} = 23.5619449019$$
$$x_{56} = 20.4203522483$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

$$\lim_{x \to 1.5707963267949^-}\left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 3.93391279489102 \cdot 10^{48}$$
$$\lim_{x \to 1.5707963267949^+}\left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = 3.93391279489102 \cdot 10^{48}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^-}\left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = -5.00161194368082 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 4.71238898038469^+}\left(\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (x \right )} + \log{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}\right)\right) = -5.00161194368082 \cdot 10^{47}$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[92.6769832809, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -95.8185759345]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1.5707963267949$$
$$x_{2} = 4.71238898038469$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left (x \right )}}{x \cos{\left (x \right )}}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = \frac{\log{\left (- x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} = - \frac{\log{\left (- x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной