График функции y = log(x/(x-2))

Вы ввели

          /   x    \
f(x) = log|--------|
          |       1|
          \(x - 2) /

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x/(x - 2)^1).
$$\log{\left (\frac{0}{\left(-2\right)^{1}} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x} \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{1}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x/(x - 2)^1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )} = \log{\left (- \frac{x}{- x - 2} \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (\frac{x}{\left(x - 2\right)^{1}} \right )} = - \log{\left (- \frac{x}{- x - 2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной