График функции y = log(x/(x+5))-1

Вы ввели

          /  x  \    
f(x) = log|-----| - 1
          \x + 5/    

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{5 e}{- e + 1}$$
Численное решение
$$x_{1} = -7.90988353435$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x/(x + 5)) - 1.
$$\log{\left (\frac{0}{5} \right )} - 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{x} \left(x + 5\right) \left(- \frac{x}{\left(x + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x + 5}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{5}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -5$$

$$\lim_{x \to -5^-}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -5^+}\left(\frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 5} - 1\right) \left(\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x}\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -5/2]

Выпуклая на промежутках

[-5/2, oo)

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -5$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = -1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x/(x + 5)) - 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1 = \log{\left (- \frac{x}{- x + 5} \right )} - 1$$
- Нет
$$\log{\left (\frac{x}{x + 5} \right )} - 1 = - \log{\left (- \frac{x}{- x + 5} \right )} + 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной