График функции y = log(x)/x^3

Вы ввели

       log(x)
f(x) = ------
          3  
         x   

$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 47431.0289814946$$
$$x_{2} = 36837.4133555611$$
$$x_{3} = 44260.8826009333$$
$$x_{4} = 30438.7898799451$$
$$x_{5} = 52701.6428836723$$
$$x_{6} = 21838.0604095039$$
$$x_{7} = 27224.1851278313$$
$$x_{8} = 28296.9963675366$$
$$x_{9} = 49541.1279519006$$
$$x_{10} = 45318.2910228145$$
$$x_{11} = 25074.3951775674$$
$$x_{12} = 41084.232681033$$
$$x_{13} = 46374.9995735621$$
$$x_{14} = 48486.39889297$$
$$x_{15} = 38962.5292646053$$
$$x_{16} = 40023.7925644568$$
$$x_{17} = 32575.8651669921$$
$$x_{18} = 20755.7822635151$$
$$x_{19} = 51648.7335013236$$
$$x_{20} = 31507.8906383604$$
$$x_{21} = 22918.5159269795$$
$$x_{22} = 42143.8772835132$$
$$x_{23} = 29368.5106906478$$
$$x_{24} = 50595.2338718172$$
$$x_{25} = 33642.761660559$$
$$x_{26} = 37900.4133297314$$
$$x_{27} = 34708.624734302$$
$$x_{28} = 43202.7524097009$$
$$x_{29} = 54805.7513744735$$
$$x_{30} = 35773.4957936157$$
$$x_{31} = 53753.9773110992$$
$$x_{32} = 23997.2607605555$$
$$x_{33} = 26150.0094308108$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)/(x^3).
$$\frac{\log{\left(0 \right)}}{0^{3}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{x x^{3}} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Зн. экстремумы в точках:

        -1 
  1/3  e   
(e  , ---)
        3  

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e^{\frac{1}{3}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{1}{3}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e^{\frac{1}{3}}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = e^{\frac{7}{12}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[e^{\frac{7}{12}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, e^{\frac{7}{12}}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График