График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в log(x)/(x^3). 03log(0) Результат: f(0)=∞~ зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная xx31−x43log(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=e31 Зн. экстремумы в точках:
-1
1/3 e
(e , ---)
3
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумов у функции нет Максимумы функции в точках: x1=e31 Убывает на промежутках (−∞,e31] Возрастает на промежутках [e31,∞)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная x512log(x)−7=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=e127 Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции: Точки, где есть неопределённость: x1=0
x→0−lim(x512log(x)−7)=∞ Возьмём предел x→0+lim(x512log(x)−7)=−∞ Возьмём предел - пределы не равны, зн. x1=0 - является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [e127,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,e127]
Вертикальные асимптоты
Есть: x1=0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞lim(x3log(x))=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0 x→∞lim(x3log(x))=0 Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xx3log(x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(xx3log(x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: x3log(x)=−x3log(−x) - Нет x3log(x)=x3log(−x) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной