График функции y = log(x)/x^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       log(x)
f(x) = ------
          3  
         x   
f(x)=log(x)x3f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}
График функции
050001000015000200002500030000350004000045000-2500025000
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
log(x)x3=0\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=1x_{1} = 1
Численное решение
x1=47431.0289814946x_{1} = 47431.0289814946
x2=36837.4133555611x_{2} = 36837.4133555611
x3=44260.8826009333x_{3} = 44260.8826009333
x4=30438.7898799451x_{4} = 30438.7898799451
x5=52701.6428836723x_{5} = 52701.6428836723
x6=21838.0604095039x_{6} = 21838.0604095039
x7=27224.1851278313x_{7} = 27224.1851278313
x8=28296.9963675366x_{8} = 28296.9963675366
x9=49541.1279519006x_{9} = 49541.1279519006
x10=45318.2910228145x_{10} = 45318.2910228145
x11=25074.3951775674x_{11} = 25074.3951775674
x12=41084.232681033x_{12} = 41084.232681033
x13=46374.9995735621x_{13} = 46374.9995735621
x14=48486.39889297x_{14} = 48486.39889297
x15=38962.5292646053x_{15} = 38962.5292646053
x16=40023.7925644568x_{16} = 40023.7925644568
x17=32575.8651669921x_{17} = 32575.8651669921
x18=20755.7822635151x_{18} = 20755.7822635151
x19=51648.7335013236x_{19} = 51648.7335013236
x20=31507.8906383604x_{20} = 31507.8906383604
x21=22918.5159269795x_{21} = 22918.5159269795
x22=42143.8772835132x_{22} = 42143.8772835132
x23=29368.5106906478x_{23} = 29368.5106906478
x24=50595.2338718172x_{24} = 50595.2338718172
x25=33642.761660559x_{25} = 33642.761660559
x26=37900.4133297314x_{26} = 37900.4133297314
x27=34708.624734302x_{27} = 34708.624734302
x28=43202.7524097009x_{28} = 43202.7524097009
x29=54805.7513744735x_{29} = 54805.7513744735
x30=35773.4957936157x_{30} = 35773.4957936157
x31=53753.9773110992x_{31} = 53753.9773110992
x32=23997.2607605555x_{32} = 23997.2607605555
x33=26150.0094308108x_{33} = 26150.0094308108
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)/(x^3).
log(0)03\frac{\log{\left(0 \right)}}{0^{3}}
Результат:
f(0)=~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
1xx33log(x)x4=0\frac{1}{x x^{3}} - \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{4}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=e13x_{1} = e^{\frac{1}{3}}
Зн. экстремумы в точках:
        -1 
  1/3  e   
(e  , ---)
        3  


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
x1=e13x_{1} = e^{\frac{1}{3}}
Убывает на промежутках
(,e13]\left(-\infty, e^{\frac{1}{3}}\right]
Возрастает на промежутках
[e13,)\left[e^{\frac{1}{3}}, \infty\right)
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
12log(x)7x5=0\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=e712x_{1} = e^{\frac{7}{12}}
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

limx0(12log(x)7x5)=\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = \infty
Возьмём предел
limx0+(12log(x)7x5)=\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 \log{\left(x \right)} - 7}{x^{5}}\right) = -\infty
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
x1=0x_{1} = 0
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[e712,)\left[e^{\frac{7}{12}}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,e712]\left(-\infty, e^{\frac{7}{12}}\right]
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(log(x)x3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(log(x)x3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)/(x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(log(x)xx3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(log(x)xx3)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x x^{3}}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
log(x)x3=log(x)x3\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}
- Нет
log(x)x3=log(x)x3\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{3}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{3}}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = log(x)/x^3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/9/b7/a0dde5c57ee9339875a23d30e0893.png