График функции y = log(x)-2*x+2

Вы ввели

f(x) = log(x) - 2*x + 2

$$f{\left (x \right )} = - 2 x + \log{\left (x \right )} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{2}{e^{2}} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0.20318786997998$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x) - 2*x + 2.
$$\log{\left (0 \right )} - 0 + 2$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$-2 + \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(1/2, 1 - log(2))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках

(-oo, 1/2]

Возрастает на промежутках

[1/2, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x) - 2*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2\right)\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2\right)\right) = -2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - 2 x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2 = 2 x + \log{\left (- x \right )} + 2$$
- Нет
$$- 2 x + \log{\left (x \right )} + 2 = - 2 x - \log{\left (- x \right )} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной