График функции y = log(x-cos(x))

Вы ввели

f(x) = log(x - cos(x))

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1.28342874174577$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x - cos(x)).
$$\log{\left(- \cos{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = i \pi$$
Точка:

(0, pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\sin{\left(x \right)} + 1}{x - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi             /pi\ 
(----, pi*I + log|--|)
  2              \2 / 

 3*pi     /3*pi\ 
(----, log|----|)
  2       \ 2  / 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{x - \cos{\left(x \right)}}}{x - \cos{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 29.845130209103$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = 39.167872273504$$
$$x_{4} = 86.3937979737193$$
$$x_{5} = 36.1283155162826$$
$$x_{6} = 67.5442420521806$$
$$x_{7} = -54.9050505920987$$
$$x_{8} = -174.335449008497$$
$$x_{9} = 76.9170276386581$$
$$x_{10} = 98.9601685880785$$
$$x_{11} = -61.1957159495412$$
$$x_{12} = 70.6292160483763$$
$$x_{13} = -26.7035375555132$$
$$x_{14} = -29.7107013906769$$
$$x_{15} = -39.2699081698724$$
$$x_{16} = 7.32059416498899$$
$$x_{17} = -89.5353906273091$$
$$x_{18} = 17.2787595947439$$
$$x_{19} = -14.1371669411541$$
$$x_{20} = -58.1194640914112$$
$$x_{21} = -1.5707963267949$$
$$x_{22} = -36.0173719321884$$
$$x_{23} = -83.2522053201295$$
$$x_{24} = -23.3913564557027$$
$$x_{25} = -10.6234032857343$$
$$x_{26} = -98.9197372727684$$
$$x_{27} = 26.5531803725978$$
$$x_{28} = -92.6338092099918$$
$$x_{29} = -67.4849869537785$$
$$x_{30} = 83.2041400450367$$
$$x_{31} = 80.1106126665397$$
$$x_{32} = -80.0606609400181$$
$$x_{33} = 42.4115008234622$$
$$x_{34} = -64.4026493985908$$
$$x_{35} = -17.045156972057$$
$$x_{36} = -48.6124490594542$$
$$x_{37} = 58.0505859154057$$
$$x_{38} = 20.2232006987892$$
$$x_{39} = -51.8362787842316$$
$$x_{40} = 32.8651633508102$$
$$x_{41} = 45.4651707265$$
$$x_{42} = -3.72745911529141$$
$$x_{43} = -146.084058391925$$
$$x_{44} = -7.85398163397448$$
$$x_{45} = 64.3405001706914$$
$$x_{46} = 54.9778714378214$$
$$x_{47} = -20.4203522483337$$
$$x_{48} = 48.6946861306418$$
$$x_{49} = 4.71238898038469$$
$$x_{50} = -42.3170465547099$$
$$x_{51} = 23.5619449019235$$
$$x_{52} = 61.261056745001$$
$$x_{53} = -32.9867228626928$$
$$x_{54} = -73.7732204199698$$
$$x_{55} = 13.8503481105703$$
$$x_{56} = -86.3474818006428$$
$$x_{57} = -95.8185759344887$$
$$x_{58} = 89.4907006850368$$
$$x_{59} = -76.9690200129499$$
$$x_{60} = 95.7768182438331$$
$$x_{61} = 92.6769832808989$$
$$x_{62} = -70.6858347057703$$
$$x_{63} = 10.9955742875643$$
$$x_{64} = 51.7590360205571$$
$$x_{65} = -45.553093477052$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[98.9601685880785, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -174.335449008497\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x - cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- x - \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
$$\log{\left(x - \cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- x - \cos{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График