График функции y = log(x-1)/(x-1)

Вы ввели

       log(x - 1)
f(x) = ----------
         x - 1   

$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 1}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x - 1*1)/(x - 1*1).
$$\frac{\log{\left(\left(-1\right) 1 + 0 \right)}}{\left(-1\right) 1 + 0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = - i \pi$$
Точка:

(0, -pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + e$$
Зн. экстремумы в точках:

        log(1 - 1 + e) 
(1 + e, --------------)
          1 - 1 + e    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1 + e$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1 + e\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1 + e, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$\frac{2 \log{\left(x - 1 \right)} - 3}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1 + e^{\frac{3}{2}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \log{\left(x - 1 \right)} - 3}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \log{\left(x - 1 \right)} - 3}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[1 + e^{\frac{3}{2}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 1 + e^{\frac{3}{2}}\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 1$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 1}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x - 1*1)/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 1} = \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{x - 1} = - \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной