График функции y = log(x+4)-x

Вы ввели

f(x) = log(x + 4) - x

$$f{\left (x \right )} = - x + \log{\left (x + 4 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \log{\left (x + 4 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -4 - \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{e^{4}} \right )}$$
$$x_{2} = -4 - \operatorname{LambertW}{\left (- \frac{1}{e^{4}},-1 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.74903138601$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x + 4) - x.
$$- 0 + \log{\left (4 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \log{\left (4 \right )}$$
Точка:

(0, log(4))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$-1 + \frac{1}{x + 4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 3)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках

(-oo, -3]

Возрастает на промежутках

[-3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{\left(x + 4\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \log{\left (x + 4 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \log{\left (x + 4 \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x + 4) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (x + 4 \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (x + 4 \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \log{\left (x + 4 \right )} = x + \log{\left (- x + 4 \right )}$$
- Нет
$$- x + \log{\left (x + 4 \right )} = - x - \log{\left (- x + 4 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной