График функции y = log(x+1)-x

Вы ввели

f(x) = log(x + 1) - x

$$f{\left (x \right )} = - x + \log{\left (x + 1 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- x + \log{\left (x + 1 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 9.55189702238 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{2} = 9.62925091903 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{3} = 1.07147405064 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{4} = 9.89136070355 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{5} = 1.01875536538 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{6} = 8.41420712546 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{7} = 1.04442879382 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{8} = 1.03431225465 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{9} = 1.00005426162 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{10} = 1.05630935655 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{11} = 1.04755661008 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{12} = 7.17441241528 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{13} = 1.07374958865 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{14} = 9.27996674275 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{15} = 9.05376512896 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{16} = 7.9212525584 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{17} = 1.05349053286 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{18} = 1.00986581988 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{19} = 1.078116168 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{20} = 0$$
$$x_{21} = 5.78936236153 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{22} = 8.77422058609 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{23} = 9.17237166827 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{24} = 1.07596262769 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{25} = 8.60668995726 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{26} = 9.46851965706 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{27} = 1.06423897634 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{28} = 7.59259996458 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{29} = 9.94747050587 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{30} = 1.03066628829 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{31} = 8.92198822732 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{32} = 1.08225575821 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{33} = 6.61256122479 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{34} = 1.02686635028 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{35} = 9.76868622801 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{36} = 1.06672234488 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{37} = 1.05057497641 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{38} = 1.0590370222 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{39} = 9.70131088111 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{40} = 8.18938530916 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{41} = 9.3782362731 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{42} = 4.37089644971 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{43} = 1.03781500638 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{44} = 1.02290048631 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{45} = 1.06167865493 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{46} = 1.08021300728 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{47} = 9.8318906176 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{48} = 1.01441606597 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{49} = 1.04118425475 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{50} = 1.06913279143 \cdot 10^{-6}$$
$$x_{51} = 1.00508570329 \cdot 10^{-6}$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x + 1) - x.
$$- 0 + \log{\left (1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$-1 + \frac{1}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0]

Возрастает на промежутках

[0, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \log{\left (x + 1 \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \log{\left (x + 1 \right )}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x + 1) - x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x + \log{\left (x + 1 \right )}\right)\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- x + \log{\left (x + 1 \right )} = x + \log{\left (- x + 1 \right )}$$
- Нет
$$- x + \log{\left (x + 1 \right )} = - x - \log{\left (- x + 1 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной