График функции y = log(x)*cos(x)

Вы ввели

f(x) = log(x)*cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -92.6769832809$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = 86.3937979737$$
$$x_{4} = 48.6946861306$$
$$x_{5} = -64.4026493986$$
$$x_{6} = -61.261056745$$
$$x_{7} = -23.5619449019$$
$$x_{8} = 67.5442420522$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -29.8451302091$$
$$x_{11} = -36.1283155163$$
$$x_{12} = -4.71238898038$$
$$x_{13} = -7.85398163397$$
$$x_{14} = 76.9690200129$$
$$x_{15} = -39.2699081699$$
$$x_{16} = -32.9867228627$$
$$x_{17} = -14.1371669412$$
$$x_{18} = 17.2787595947$$
$$x_{19} = -48.6946861306$$
$$x_{20} = -42.4115008235$$
$$x_{21} = -54.9778714378$$
$$x_{22} = 58.1194640914$$
$$x_{23} = 39.2699081699$$
$$x_{24} = 95.8185759345$$
$$x_{25} = 36.1283155163$$
$$x_{26} = 73.8274273594$$
$$x_{27} = -10.9955742876$$
$$x_{28} = 32.9867228627$$
$$x_{29} = 80.1106126665$$
$$x_{30} = 4.71238898038$$
$$x_{31} = -83.2522053201$$
$$x_{32} = 10.9955742876$$
$$x_{33} = 7.85398163397$$
$$x_{34} = 23.5619449019$$
$$x_{35} = 51.8362787842$$
$$x_{36} = -58.1194640914$$
$$x_{37} = 64.4026493986$$
$$x_{38} = -98.9601685881$$
$$x_{39} = 14.1371669412$$
$$x_{40} = -20.4203522483$$
$$x_{41} = -26.7035375555$$
$$x_{42} = -76.9690200129$$
$$x_{43} = 26.7035375555$$
$$x_{44} = 92.6769832809$$
$$x_{45} = -51.8362787842$$
$$x_{46} = 98.9601685881$$
$$x_{47} = 61.261056745$$
$$x_{48} = -67.5442420522$$
$$x_{49} = -17.2787595947$$
$$x_{50} = 1.57079632679$$
$$x_{51} = 54.9778714378$$
$$x_{52} = -73.8274273594$$
$$x_{53} = -86.3937979737$$
$$x_{54} = 45.5530934771$$
$$x_{55} = -89.5353906273$$
$$x_{56} = 89.5353906273$$
$$x_{57} = -45.5530934771$$
$$x_{58} = 70.6858347058$$
$$x_{59} = 29.8451302091$$
$$x_{60} = 42.4115008235$$
$$x_{61} = -80.1106126665$$
$$x_{62} = -1.57079632679$$
$$x_{63} = 20.4203522483$$
$$x_{64} = 83.2522053201$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x)*cos(x).
$$\log{\left (0 \right )} \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \log{\left (x \right )} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 40.8473034496$$
$$x_{2} = 37.7064180282$$
$$x_{3} = 100.533122378$$
$$x_{4} = 28.2849113048$$
$$x_{5} = 25.1450734377$$
$$x_{6} = 65.9770636784$$
$$x_{7} = 59.6943570031$$
$$x_{8} = 3.37991614209$$
$$x_{9} = 87.9671334899$$
$$x_{10} = 56.5530498251$$
$$x_{11} = 81.6841895129$$
$$x_{12} = 22.0058475928$$
$$x_{13} = 94.2501135627$$
$$x_{14} = 15.7310277752$$
$$x_{15} = 12.5976921977$$
$$x_{16} = 75.4012916643$$
$$x_{17} = 62.8356966542$$
$$x_{18} = 47.1293968198$$
$$x_{19} = 84.8256564376$$
$$x_{20} = 6.36781151369$$
$$x_{21} = 1.27285069827$$
$$x_{22} = 91.1086195252$$
$$x_{23} = 31.425156335$$
$$x_{24} = 72.2598642156$$
$$x_{25} = 9.47170218678$$
$$x_{26} = 50.2705603376$$
$$x_{27} = 43.9883049461$$
$$x_{28} = 69.1184539759$$
$$x_{29} = 34.5656848443$$
$$x_{30} = 78.5427340594$$
$$x_{31} = 97.3916147575$$
$$x_{32} = 18.8675971617$$
$$x_{33} = 53.4117815402$$
Зн. экстремумы в точках:

(40.8473034496, -3.70976003369716)

(37.7064180282, 3.62973343908044)

(100.533122378, 4.61047651900993)

(28.2849113048, -3.34214152179011)

(25.1450734377, 3.22441678455125)

(65.9770636784, -4.18927974348899)

(59.6943570031, -4.08920318061012)

(3.37991614209, -1.18342849059061)

(87.9671334899, 4.4769488290828)

(56.5530498251, 4.03514038997721)

(81.6841895129, 4.40284344444233)

(22.0058475928, -3.09097426796676)

(94.2501135627, 4.54593964955556)

(15.7310277752, -2.7549021263166)

(12.5976921977, 2.53227099874907)

(75.4012916643, 4.32280406143887)

(62.8356966542, 4.14049274584816)

(47.1293968198, -3.85283851894378)

(84.8256564376, -4.44058240090197)

(6.36781151369, 1.8446308321891)

(1.27285069827, 0.0708232692475832)

(91.1086195252, -4.5120390660658)

(31.425156335, 3.44746188086714)

(72.2598642156, -4.28024647479203)

(9.47170218678, -2.24583383410247)

(50.2705603376, 3.91736911923955)

(43.9883049461, 3.78385551437724)

(69.1184539759, 4.23579704883419)

(34.5656848443, -3.54274330777479)

(78.5427340594, -4.3636242855634)

(97.3916147575, -4.57872860340226)

(18.8675971617, 2.93696797853021)

(53.4117815402, -3.9779872921632)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{33} = 40.8473034496$$
$$x_{33} = 28.2849113048$$
$$x_{33} = 65.9770636784$$
$$x_{33} = 59.6943570031$$
$$x_{33} = 3.37991614209$$
$$x_{33} = 22.0058475928$$
$$x_{33} = 15.7310277752$$
$$x_{33} = 47.1293968198$$
$$x_{33} = 84.8256564376$$
$$x_{33} = 91.1086195252$$
$$x_{33} = 72.2598642156$$
$$x_{33} = 9.47170218678$$
$$x_{33} = 34.5656848443$$
$$x_{33} = 78.5427340594$$
$$x_{33} = 97.3916147575$$
$$x_{33} = 53.4117815402$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{33} = 37.7064180282$$
$$x_{33} = 100.533122378$$
$$x_{33} = 25.1450734377$$
$$x_{33} = 87.9671334899$$
$$x_{33} = 56.5530498251$$
$$x_{33} = 81.6841895129$$
$$x_{33} = 94.2501135627$$
$$x_{33} = 12.5976921977$$
$$x_{33} = 75.4012916643$$
$$x_{33} = 62.8356966542$$
$$x_{33} = 6.36781151369$$
$$x_{33} = 1.27285069827$$
$$x_{33} = 31.425156335$$
$$x_{33} = 50.2705603376$$
$$x_{33} = 43.9883049461$$
$$x_{33} = 69.1184539759$$
$$x_{33} = 18.8675971617$$
Убывает на промежутках

[97.3916147575, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 3.37991614209]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 33.0040471601$$
$$x_{2} = 39.2837741383$$
$$x_{3} = 67.5512693271$$
$$x_{4} = 83.2576375062$$
$$x_{5} = 20.4527151637$$
$$x_{6} = 73.8337238589$$
$$x_{7} = 92.6817476189$$
$$x_{8} = 76.9750016538$$
$$x_{9} = 11.0703232999$$
$$x_{10} = 42.4240774345$$
$$x_{11} = 29.8648369784$$
$$x_{12} = 26.7262995386$$
$$x_{13} = 51.8460478223$$
$$x_{14} = 80.116307355$$
$$x_{15} = 45.5645846448$$
$$x_{16} = 61.2689882085$$
$$x_{17} = 98.9645667864$$
$$x_{18} = 4.9536494555$$
$$x_{19} = 23.5887477757$$
$$x_{20} = 14.1901528742$$
$$x_{21} = 36.1437352734$$
$$x_{22} = 70.6924780957$$
$$x_{23} = 7.97332415906$$
$$x_{24} = 54.9869474044$$
$$x_{25} = 64.4101035741$$
$$x_{26} = 48.7052521633$$
$$x_{27} = 58.1279323495$$
$$x_{28} = 95.8231504264$$
$$x_{29} = 89.5403599345$$
$$x_{30} = 2.28203436189$$
$$x_{31} = 86.3989891916$$
$$x_{32} = 17.3191834025$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[95.8231504264, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 2.28203436189]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x)*cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = \log{\left (- x \right )} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\log{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = - \log{\left (- x \right )} \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной